Verschobene Pareto-Verteilung

Die verschobene Pareto-Verteilung, auch Lomax-Verteilung genannt, ist eine in der mathematischen Statistik betrachtete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die besonders zur Modellierung von Großschäden geeignet ist, insbesondere bei Industrie- und Rückversicherungen. Mathematisch handelt es sich hierbei um eine Pareto-Verteilung, deren Verteilungskurve um einen festen Parameterwert verschoben ist, woraus sich der Name dieser Verteilung ableitet.

Definition

Eine stetige Zufallsvariable $X$ genügt der verschobenen Pareto-Verteilung $\operatorname {Par^{\star }} (a,b)$ mit den Parametern $a>0$ und $b>0$ , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x)={\begin{cases}ab(1+bx)^{-(a+1)}&x\geq 0\\0&x<0.\end{cases}}

besitzt. Hierbei ist ${\frac {1}{b}}$ ein Skalenparameter der Verteilung.

Eigenschaften

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist für $x\geq 0$ gegeben durch

F(x)=P(X\leq x)=1-(1+bx)^{-a}

.

Insbesondere gilt damit für die Überlebensfunktion: $P(X>x)=1-F(x)=(1+bx)^{-a}$ .

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu:

\operatorname {E} (X)={\frac {1}{b(a-1)}}.

Varianz

Die Varianz ist angebbar als

\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{b^{2}}}\left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)={\frac {a}{b^{2}(a-1)^{2}(a-2)}}.

Standardabweichung

Aus Erwartungswert und Varianz ergibt sich die Standardabweichung

\sigma (X)={\sqrt {{\frac {1}{b^{2}}}\left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)}}={\frac {1}{b(a-1)}}{\sqrt {\frac {a}{a-2}}}.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man den Variationskoeffizienten

\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {a}{a-2}}}.

Schiefe

Für die Schiefe resultiert

\operatorname {v} (X)={\frac {\displaystyle {\frac {a}{a-3}}-3{\frac {a^{2}}{(a-2)(a-1)}}+2{\frac {a^{3}}{(a-1)^{3}}}}{\displaystyle \left({\frac {a}{a-2}}-{\frac {a^{2}}{(a-1)^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist für die verschobene Pareto-Verteilung nicht in geschlossener Form angebbar.

Literatur

Klaus Jürgen Schröter: Verfahren zur Approximation der Gesamtschadenverteilung: Systematisierung, Techniken und Vergleiche. Band 1 von Karlsruher Reihe, Beiträge zur Versicherungswissenschaft, Verlag Versicherungswirtsch., 1995, ISBN 978-3-88487-471-4, S. 35.