Einhängung

Funktor, der die Dimension eines Raumes um 1erhoeht.
(Weitergeleitet von Einhängungs-Isomorphismus)

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Einhängung[1] oder Suspension eine Methode um aus einem topologischen Raum einen neuen Raum zu konstruieren. Dabei wird der Ausgangsraum mit zwei Kegeln verklebt. Es gibt eine Variante der Einhängung für punktierte Räume, die als reduzierte Einhängung bezeichnet wird.

Einhängung eines Kreises. Der Original-Raum ist blau, die kollabierten Endpunkte sind grün.

Definition

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Die Einhängung   eines topologischen Raums   ist definiert als der Quotientenraum

 

des Produkts von   mit dem Einheitsintervall  .[2]

Anschaulich wird X erst zu einem »Zylinder«   ausgedehnt, dessen Enden dann zu Punkten zusammengefasst werden, und man betrachtet X als zwischen diesen Endpunkten »eingehängt«. Man kann die Einhängung auch als zwei geometrische Kegel über X, die auf ihrer Grundseite miteinander verklebt sind, betrachten. Eine dritte Möglichkeit ist ihre Betrachtung als Quotient des topologischen Kegels über X, bei dem die Punkte der Grundseite als äquivalent zusammengefasst werden.

Reduzierte Einhängung

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Sei   ein punktierter Raum (mit Basispunkt  ), so gibt es eine abgewandelte Einhängung von  , die wieder punktiert ist: Die reduzierte Einhängung   von   ist der Quotientenraum:[2]

 .

Die Konstruktion kollabiert die Gerade (x0 × I) in SX, wobei die Enden zu einem Punkt zusammengefasst werden. Der Basispunkt von ΣX ist die Äquivalenzklasse von (x0, 0). Σ ist Endofunktor in der Kategorie punktierter Räume.[2]

Man kann zeigen, dass die reduzierte Einhängung von X homöomorph zum Smash-Produkt von X mit dem Einheitskreis S1 ist:[3]

 ,

allgemeiner ist die  -fach iterierte reduzierte Einhängung im Wesentlichen das Smash-Produkt mit der  -Sphäre:

 .

Für CW-Komplexe ist die reduzierte Einhängung homotopieäquivalent zur gewöhnlichen.

Eigenschaften

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Insbesondere gilt
 
  • Die Funktorialität der Einhängung induziert Abbildungen
 
zwischen Homotopiegruppen. Der Freudenthalsche Einhängungssatz besagt, dass diese Abbildungen für  -zusammenhängende Räume   im Bereich   Isomorphismen und für   Epimorphismen sind. Der direkte Limes
 
über diese Abbildungen ist die  -te stabile Homotopiegruppe von  . Ist insbesondere  , so ist das induktive System für   im Wesentlichen konstant, d. h.
 
wegen   nennt man die Gruppen   auch einfach stabile Homotopiegruppen der Sphären.
  • Für alle   gilt
 
beziehungsweise
 .
Wenn man reduzierte Homologie bzw. reduzierte Kohomologie verwendet, gilt sogar für alle  [5]
  beziehungsweise  
Dieser Einhängungsisomorphismus (oder Suspensions-Isomorphismus) gilt auch für alle verallgemeinerten Kohomologietheorien.

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-54964-3, S. 41 (google.com [abgerufen am 24. September 2022]).
  2. a b c Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. Springer New York, New York, NY 1981, ISBN 978-1-4684-9322-1, S. 41.
  3. Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X, S. 12.
  4. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. Springer New York, New York, NY 1981, ISBN 978-1-4684-9322-1, S. 42.
  5. Wolfgang Lück: Algebraische Topologie: Homologie und Mannigfaltigkeiten. Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-3-322-80241-5, S. 9 (google.com [abgerufen am 24. September 2022]).