Projektive Auflösung

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Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie und der homologischen Algebra ist eine projektive Auflösung eine lange exakte Sequenz aus projektiven Objekten, die in einem gegebenen Objekt endet.

Definition

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Es seien   eine abelsche Kategorie (oder auch die Kategorie Grp der Gruppen) und   ein Objekt aus  . Dann heißt eine lange exakte Sequenz der Form

 

projektive Auflösung von  , wenn sämtliche   projektiv sind.[1][2]

Sind alle   sogar frei, so spricht man von einer freien Auflösung.

Existenz

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Ist in der abelschen Kategorie   jedes Objekt Quotient eines projektiven Objektes, d. h. gibt es zu jedem Objekt   einen Epimorphismus  , in dem   projektiv ist, so sagt man auch,   besitze genügend viele projektive Objekte.

Unter diesen Bedingungen gibt es auch zu jedem Objekt   eine projektive Auflösung. Zunächst existiert nämlich nach Voraussetzung ein Epimorphismus  , dann weiter ein Epimorphismus   auf den Kern dieses Morphismus und dann per Induktion jeweils weiter  .

Die wichtigste Kategorie mit genügend vielen projektiven Objekten ist die Kategorie   der (Links-)Moduln über einem Ring  . Ist   ein solcher Modul und ist   ein Erzeugendensystem, so hat man einen surjektiven Homomorphismus  , indem man das  -te Basiselement des freien Moduls   auf   abbildet. Da freie Moduln projektiv sind, ist   Quotient eines projektiven Moduls und damit hat   genügend viele projektive Objekte.[3]

Eigenschaften

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Ist

 

eine projektive Auflösung und

 

exakt, so lässt sich jeder  -Homomorphismus   (nicht notwendigerweise eindeutig) zu einem kommutativen Diagramm

 

ergänzen.[4]

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel VII, Projektive Auflösungen
  2. P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Definition 2.5
  3. P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Satz 2.7
  4. P. J. Hilton: Lectures in Homological Algebra, American Mathematical Society (1971), ISBN 0821816578, Lemma 2.8 + anschließende Bemerkung