Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt

Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Die folgenden Bezeichnungen sind ebenfalls üblich: initiales Objekt für Anfangsobjekt, terminales oder finales Objekt für Endobjekt.

Ein Anfangsobjekt ist ein spezieller Fall des Koprodukts, ein Endobjekt ein spezieller Fall des Produkts in Kategorien.

Definitionen

Ein Objekt $X$ heißt Anfangsobjekt, wenn es für jedes Objekt $Y$ der Kategorie genau einen Morphismus $X\to Y$ gibt.
Ein Objekt $X$ heißt Endobjekt, wenn es für jedes Objekt $Y$ der Kategorie genau einen Morphismus $Y\to X$ gibt.
Ein Objekt heißt Nullobjekt, wenn es gleichzeitig Anfangs- und Endobjekt ist.

Eigenschaften

Je zwei Anfangsobjekte sind isomorph.
Je zwei Endobjekte sind isomorph.
Je zwei Nullobjekte sind isomorph.
Ist ein Anfangsobjekt zu einem Endobjekt isomorph, dann handelt es sich um ein Nullobjekt.

Die in all diesen Fällen auftretenden Isomorphismen sind jeweils eindeutig bestimmt. Zusammenfassend bedeutet dies:

Anfangs-, End- und Nullobjekte sind (sofern sie existieren) jeweils eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.

Das Anfangsobjekt ist ein Sonderfall des Koprodukts, nämlich für die leere Familie von Objekten.
Das Endobjekt ist ein Sonderfall des Produkts, nämlich für die leere Familie von Objekten.

Beispiele

In der Kategorie der Mengen ist die leere Menge das Anfangsobjekt und jede einelementige Menge ein Endobjekt. Diese Kategorie hat kein Nullobjekt.
In der Kategorie der Gruppen oder der abelschen Gruppen ist die triviale Gruppe (die nur aus dem neutralen Element besteht) Nullobjekt.
In der Kategorie der nichtleeren Halbgruppen gibt es kein Anfangsobjekt. Lässt man die leere Halbgruppe zu, so ist diese das Anfangsobjekt. In beiden Fällen ist jede einelementige Halbgruppe Endobjekt.
In der Kategorie der Vektorräume über einem Körper (oder allgemeiner der Moduln über einem Ring) ist der Nullvektorraum (bzw. der Nullmodul) Nullobjekt.
In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist der Ring Z der ganzen Zahlen Anfangsobjekt und der Nullring Endobjekt.
In der Kategorie beliebiger Ringe ist der Nullring Nullobjekt.
In der Kategorie der punktierten topologischen Räume sind die einpunktigen Räume Nullobjekte.
Man kann jede partielle Ordnung als Kategorie auffassen, indem man festlegt, dass genau dann ein Pfeil von $x$ nach $y$ geht, wenn $x\leq y$ gilt. Ein Anfangsobjekt entspricht dann dem kleinsten Element der Ordnung (falls es existiert). Ein Endobjekt entspricht dem größten Element.

Kategorien mit Nullobjekten

Gibt es in einer Kategorie ein Nullobjekt $0$ , so gibt es zu je zwei Objekten $X$ und $Y$ stets einen kanonischen so genannten Nullmorphismus $0\colon X\to Y$ , der die Verkettung von

X\to 0\to Y

ist. Genauer schreibt man $0_{X,Y}$ , um die Abhängigkeit von $X$ und $Y$ auszudrücken. Da die Morphismenmengen einer Kategorie definitionsgemäß paarweise disjunkt sind, gilt $0_{X,Y}=0_{X',Y'}$ nur für $X=X'$ und $Y=Y'$ .

Nullmorphismen $0\colon X\to Y$ in konkreten Kategorien sind in der Regel solche, die alle Elemente aus $X$ auf ein Nullelement oder neutrales Element (je nach Kategorie) von $Y$ abbilden. Beispiele sind:

In der Kategorie der Gruppen ist der Nullmorphismus $0_{X,Y}\colon X\to Y$ derjenige Homomorphismus, der jedes Element aus $X$ auf das neutrale Element von $e_{Y}\in Y$ abbildet, das heißt $0_{X,Y}(x)=e_{Y}$ für alle $x\in X$ .
In der Kategorie der Moduln über einem Ring $R$ ist der Nullmorphismus $0_{X,Y}\colon X\to Y$ diejenige $R$ -lineare Abbildung, die jedes Element aus $X$ auf das Nullelement von $0_{Y}\in Y$ abbildet, das heißt $0_{X,Y}(x)=0_{Y}$ für alle $x\in X$ .
In der Kategorie der punktierten topologischen Räume ist der Nullmorphismus $0_{X,Y}\colon X\to Y$ diejenige Abbildung, die jedes Element aus $X$ auf den ausgezeichneten Punkt $p_{Y}\in Y$ abbildet, das heißt $0_{X,Y}(x)=p_{Y}$ für alle $x\in X$ . Beachte, dass diese Abbildung als konstante Abbildung stetig ist.

In Kategorien mit Nullobjekten gibt es damit den Begriff des Kerns eines Morphismus $f$ , dieser ist als Differenzkern des Paares $(f,0)$ definiert.

Nullmorphismen erlauben auch die Konstruktion eines kanonischen Pfeils aus einem Koprodukt in das entsprechende Produkt.

Literatur

Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim-Wien-Zürich 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel I, Absatz 3.3: Nullobjekte und Nullmorphismen.