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Tamaschke-Axiom

In der Affinen Geometrie, einem der Teilgebiete der Mathematik, ist das Tamaschke-Axiom (oder auch Dreiecksaxiom) eine derjenigen Aussagen, mit deren Hilfe sich die dort auftretenden Inzidenzgeometrien axiomatisch festlegen lassen. Das Axiom ist nach dem Tübinger Mathematiker Olaf Tamaschke benannt, der als erster seine Bedeutung für die Geometrie erkannte.

Formulierung des Axioms

Das Tamaschke-Axiom fordert für Inzidenzgeometrien ${\mathcal {X}}$, die dem Verbindungsaxiom und dem Parallelenaxiom genügen, die folgende zusätzliche Eigenschaft:

Sind in ${\mathcal {X}}$ fünf Raumpunkte $A,B,C,A^{*},B^{*}\in {\mathcal {X}}$ gegeben, wobei $A,B,C$ nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen sollen, und sind hier die Geraden $AB$ und $A^{*}B^{*}$ parallel, so treffen sich die Parallele zu $AC$ durch $A^{*}$ und die Parallele zu $BC$ durch $B^{*}$ in einem gemeinsamen Schnittpunkt $C^{*}$.

Axiomatik der affinen Räume

Gemäß der Darstellung von Albrecht Beutelspacher sind die affinen Räume genau diejenigen Inzidenzgeometrien, in denen sowohl

• das Verbindungsaxiom

als auch

• das Parallelenaxiom

als auch

• das Tamaschke-Axiom

erfüllt sind.

Anmerkungen und Erläuterungen

• Die obige Bedingung, dass $A,B,C$ nicht auf einer gemeinsamen Gerade liegen sollen, bedeutet – anschaulich!– nichts weiter, als dass die Punkte $A,B,C$ ein Dreieck bilden. Dies erklärt, warum das Tamaschke-Axiom auch als Dreiecksaxiom bezeichnet wird.
• Geht man den in der Analytischen Geometrie üblichen Weg, die affinen Räume ausgehend von den zugehörigen Vektorräumen der Verbindungsvektoren zu definieren, so ergibt sich das Tamaschke-Axiom in diesem Rahmen als Lehrsatz.
• Für eine axiomatische Begründung der affinen Raumgeometrie im engeren Sinne reichen die obigen Axiome nicht aus. Hier muss man – nicht zuletzt wegen der Inzidenzen zwischen Ebenen und Geraden sowie Ebenen und Raumpunkten − eine erweiterte Axiomatik schaffen.

Literatur

• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 8., aktualisierte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-02412-3, doi:10.1007/978-3-658-02413-0. 
• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. Eine Einführung für Studienanfänger (= Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik). 7., durchgesehene Auflage. Vieweg Verlag, Braunschweig, Wiesbaden 2001, ISBN 978-3-322-88921-8, doi:10.1007/978-3-322-88921-8. 
• H. Lenz: Grundlagen der Elementarmathematik. 3., überarbeitete Auflage. Hanser Verlag, München (u. a.) 1976, ISBN 3-446-12160-9 (MR0460009). 
• Olaf Tamaschke: Projektive Geometrie II (= BI-Hochschulskripten. 838/a/b). Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1972 (MR0338893). 

Einzelnachweise

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Notizen

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Satz von Hadwiger

BBBegriffsklärungshinweis|Der vorliegende Satz ist nur einer von mehreren mit dem Namen des Mathematikers Hugo Hadwiger verknüpften Sätzen und insbesondere nicht identisch mit dem Satz von Finsler-Hadwiger.}}

Der Satz von Hadwiger ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Konvexgeometrie und als solcher angesiedelt zwischen den Gebieten der Geometrie und der Analysis. Er entstammt der von Hugo Hadwiger im Jahre 1955 vorgelegten Fachpublikation Altes und Neues über konvexe Körper und behandelt die polyedrische Approximation gewisser Teilmengen des euklidischen Raums durch konvexe Polyeder.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich in moderner Fassung wie folgt formulieren:

Für jede kompakte konvexe Nullumgebung $N\subseteq \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ und jedes $\epsilon >0$ gibt es stets ein kompaktes konvexes Polyeder $P\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ mit

$P\subseteq N\subseteq (1+\epsilon )P$.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Hugo Hadwiger hat seinen Satz lediglich für Eikörper, also für konvexe und kompakte Punktmengen des dreidimensionalen euklidischen Raums, formuliert. Dabei bezeichnet er ein konvexes Polyeder des dreidimensionalen euklidischen Raums als Eipolyeder.
• Eine Nullumgebung ist eine Punktmenge in einem topologischen Vektorraum, die dort Umgebung des Nullvektors ist.
• Für eine Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ und eine reelle Zahl $\lambda$ besteht $\lambda T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ exakt aus allen $\lambda t$ mit $t\in T$. Ist dabei $\lambda >1$ und $P\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ ein konvexes Polyeder, so nennt Hadwiger $\lambda P$ in diesem Kontext das durch Dilatation mit $\lambda$ aus $P$ hervorgehende homothetische Polyeder.

Literatur

• Hugo Hadwiger: Altes und Neues über konvexe Körper (= ELEMENTE DER MATHEMATIK VOM HÖHEREN STANDPUNKT AUS. Band III). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1955 (MR0073220). 
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 

Einzelnachweise

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Satz von Tietze (Konvexgeometrie)

In der Konvexgeometrie, einem der Teilgebiete der Mathematik, ist der Satz von Tietze einer derjenigen Lehrsätze, welche sich mit der Frage der Charakterisierung der Konvexität von Teilmengen des euklidischen Raums und (allgemeiner) der reellen linearen Hausdorffräume mit Hilfe lokaler Stützeigenschaften befassen. Der Satz ist damit angesiedelt im Übergangsfeld zwischen Geometrie und der Theorie der topologischen Vektorräume. Er geht wesentlich auf eine wissenschaftliche Arbeit des Mathematikers Heinrich Tietze aus dem Jahr 1929 zurück.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich zusammengefasst wie folgt formulieren:

Ist ein hausdorffscher topologischer $\mathbb {R}$-Vektorraum $X$ gegeben und ist $U\subseteq X$ eine darin enthaltene offene und zusammenhängende Teilmenge, die in jedem ihrer Randpunkte lokal schwach gestützt wird, so ist $U$ in $X$ konvex. Dies gilt insbesondere für den Fall, dass $X$ der $n$-dimensionale euklidische Raum $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ ist.

Literatur

• Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 8., aktualisierte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-02412-3, doi:10.1007/978-3-658-02413-0. 

Einzelnachweise

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Verwandte Resultate

Dem Satz von Tietze ging ein Satz voraus, welcher von einer Reihe bedeutender Mathematiker bewiesen wurde, nicht zuletzt von Constantin Carathéodory im Jahre 1907 sowie von Hermann Brunn bzw. Hermann Minkowski im Jahre 1910. Er lässt sich folgendermaßen formulieren:

Ist ein hausdorffscher topologischer $\mathbb {R}$-Vektorraum $X$ gegeben und ist $A\subseteq X$ eine darin enthaltene abgeschlossene Teilmenge mit mindestens einem inneren Punkt $x\in A^{\circ }$, so ist die Teilmenge $A$ in $X$ genau dann konvex, wenn durch jeden ihrer Randpunkte eine Stützhyperebene von $A$ geht.

In der Differentialgeometrie ist ein anderer Satz bekannt, der von Jacques Hadamard im Jahre 1897 vorgelegt wurde:

Eine Eifläche $M$ im dreidimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ ist streng konvex in dem Sinne, dass für jeden darin enthaltenen Raumpunkt $p\in M$ die Fläche $M$ ganz auf einer Seite der bei $p$ anliegenden Tangentialebene $T_{p}{M}$ gelegen ist.

Erläuterungen

• Der euklidische Raum $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ wird wie üblich als mit dem Standardskalarprodukt (sowie der damit gegebenen geometrischen und metrischen Struktur) und insbesondere als mit der euklidischen Abstandsfunktion versehen betrachtet.
• In Bezug auf einen (hausdorffschen) topologischen Vektorraum $X$, eine darin liegende Teilmenge $T\subseteq X$ und einen $T$-Randpunkt $x\in \partial {T}$ sagt man, $T$ werde in $x$ lokal schwach gestützt, wenn es eine Umgebung $U(x)$ von $x$ gibt sowie ein nicht mit dem Nullfunktional identisches lineares Funktional $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$, so dass Folgendes gilt: Aus $y\in U(x)\setminus \{x\}$ und $f(y)>f(x)$ folgt stets $y\not \in T$.
• Eine im dreidimensionalen euklidischen Raums gelegene Teilmenge $M\subset \mathbb {R} ^{3}$ ist eine Eifläche, wenn sie dort eine kompakte reguläre Fläche ist und in jedem ihrer Punkte positive gaußsche Krümmung hat. Der Begriff geht auf Wilhelm Blaschke zurück.
• Jede Tangentialebene $T_{p}{M}$ an einen Punkt $p$ einer regulären Fläche $M$ ist eine Hyperebene des dreidimensionalen euklidischen Raums.
• Zu einer Hyperebene $H\subset \mathbb {R} ^{3}$ gehört die Überdeckung des $\mathbb {R} ^{3}$ durch die beiden zugehörigen abgeschlossenen Halbräume, die so beschaffen ist, dass jeder Raumpunkt in einem der beiden liegt. Ist hier eine gegebene Teilmenge $T\subset \mathbb {R} ^{3}$ entweder Teilmenge des einen oder aber Teilmenge des anderen, so sagt man, $T$ sei ganz auf einer Seite der Hyperebene gelegen.

Literatur

• H. Brunn: Zur Theorie der Eigebiete. In: Archiv der Mathematik und Physik. Band 17, 1910, S. 289–300. 
• C. Carathéodory: Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen. In: Mathematische Annalen. Band 64, 1907, S. 95–115 (MR1511425). 
• J. Hadamard: Sur certaines propriétés des trajectoires en dynamique. In: Journal de mathématiques pures et appliquées (5). Band 3, 1897, S. 331–387. 
• Wilhelm Klingenberg: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie (= Heidelberger Taschenbücher. Band 107). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1973 (MR0415512). 
• Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications (= Pure and Applied Mathematics). John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore 1982, ISBN 0-471-09584-2 (MR0655598). 
• Hermann Minkowski: Geometrie der Zahlen. B. G. Teubner Verlag, Leipzig, Berlin: 1910, S. 1–256 ([1]). 
• Heinrich Tietze: Bemerkungen über konvexe und nicht-konvexe Figuren. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 160, 1929, S. 67–69 (MR1581176). 
• Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. Übersetzung aus dem Englischen durch E. Heil (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968 (MR0226495). 

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Satz von Tverberg

Der Satz von Tverberg (englisch Tverberg's theorem) ist ein Lehrsatz, der sowohl dem mathematischen Gebiet der Konvexgeometrie als auch dem der Topologischen Kombinatorik zuzurechnen ist und der auf eine von dem norwegischen Mathematiker Helge Tverberg im Jahre 1966 vorgelegten Arbeit zurückgeht. Er stellt eine bedeutende Verallgemeinerung des bekannten Satzes von Radon dar und ist Ausgangspunkt für eine große Anzahl von weiterreichenden Untersuchungen. Mit ihm eng verbunden ist der Satz von Bárány, aus dem der Tverberg'sche Satz hergeleitet werden kann.

Formulierung des Satzes

Der Satz besagt:

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen $n\geq 1$ und $r\geq 2$ und dazu die natürliche Zahl $N=(r-1)\cdot (n+1)$. Weiter gegeben sei im euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ eine Teilmenge $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, die aus mindestens $N+1$ Raumpunkten bestehen soll.

Dann gilt:

Es gibt eine Zerlegung

$A=A_{1}{\dot {\cup }}A_{2}{\dot {\cup }}\,\dots {\dot {\cup }}A_{r}$

in $r$ paarweise disjunkte Teilmengen $A_{1},\ldots ,A_{r}\subseteq A$ derart, dass in der Schnittmenge

$\operatorname {conv} \left(A_{1}\right)\cap \operatorname {conv} \left(A_{2}\right)\cap \,\dots \cap \operatorname {conv} \left(A_{r}\right)$

der zugehörigen konvexen Hüllen mindestens ein gemeinsamer Raumpunkt liegt.

Anmerkungen

• Dem Satz von Tverberg ging eine entsprechende Vermutung des englischen Mathematikers Bryan John Birch voraus, die dieser in einer im Jahr 1959 vorgelegten Arbeit aufstellte.
• Der Satz ist ist optimal in dem Sinne, dass die Aussage des Satzes für Teilmengen mit höchstens $N$ Raumpunkten nicht länger Gültigkeit hat.

Literatur

• Imre Bárány, Pablo Soberón: Tverberg's theorem is 50 years old: A survey. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). Band 55, 2018, S. 459–492 (MR3854075). 
• Bryan J. Birch: On 3N points in a plane. In: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 55, 1959, S. 289–293 (MR0109315). 
• W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry (= Australian Mathematical Society Lecture Series. Band 12). Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 0-521-63970-0 (MR1629043). 
• Mark Longueville: A Course in Topological Combinatorics (= Universitext). Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Dordrecht, London 2013, ISBN 978-1-4419-7909-4 (MR2976494). 
• Jiří Matoušek: Lectures on Discrete Geometry (= Graduate Texts in Mathematics. Band 212). Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg 2002, ISBN 0-387-95373-6 (MR1899299). 
• H. Tverberg: A generalization of Radon's theorem. In: The Journal of the London Mathematical Society. Band 41, 1966, S. 123–128 (MR0187147). 

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Satz von Straszewicz

Der Satz von Straszewicz (englisch Straszewicz's theorem) ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Konvexgeometrie und als solcher angesiedelt zwischen den Gebieten der Geometrie und der Analysis. Er geht zurück auf eine wissenschaftliche Arbeit des Mathematikers Stefan Straszewicz aus dem Jahre 1935. Der Straszewicz'sche Satz ist verwandt mit dem Satz von Krein-Milman und behandelt die Frage, in welcher Beziehung im euklidischen Raum die exponierten Punkte und die Extremalpunkte gewisser Punktmengen zueinander stehen. Wie der Satz zeigt, bilden für eine große Klasse von Punktmengen die exponierten Punkte eine dichte Teilmenge innerhalb der Extremalpunkte.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich zusammengefasst wie folgt darstellen:

Für eine abgeschlossene und konvexe Teilmenge $T\subseteq \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ gilt stets:

(i) Jeder Extremalpunkt von $T$ ist Berührpunkt der Menge der exponierten Punkte von $T$:

$\operatorname {ext} {T}\subseteq {\overline {\operatorname {exp} {T}}}$.

(ii) Ist $T$ dabei ein konvexes Kompaktum, so gilt sogar:

$T={\overline {\operatorname {conv} \left(\operatorname {exp} {T}\right)}}$.

Analogon für normierte Räume

Der US-amerikanische Mathematiker Victor Klee hat im Jahre 1958 ein dem Satz von Straszewicz analoges Resultat vorgelegt für den allgemeineren Fall, dass ein normierter $\mathbb {R}$-Vektorraum vorliegt. Dieses Resultat wird als Satz von Klee–Straszewicz bezeichnet und lässt sich angeben wie folgt:

In einem normierten $\mathbb {R}$-Vektorraum $X$ gilt für jede darin enthaltene kompakte und konvexe Teilmenge $T\subseteq X$

$\operatorname {ext} {T}\subseteq {\overline {\operatorname {exp} {T}}}$

und

$T={\overline {\operatorname {conv} \left(\operatorname {exp} {T}\right)}}$.

Erläuterungen und Anmerkungen

• Ein exponierter Punkt von $T$ ist ein Punkt $p\in T$, zu dem eine $T$-Stützhyperebene $H\subset X$ existiert, so dass $H\cap T=\{p\}$ gilt. Die Menge der exponierten Punkte von $T$ wird mit $\operatorname {exp} {T}$ bezeichnet.
• Für eine konvexe Teilmenge von $X$ ist stets jeder ihrer exponierten Punkte auch ein Extremalpunkt und jeder ihrer Extremalpunkte stets auch einer ihrer Randpunkte. Es gilt also in diesem Falle $\operatorname {exp} {T}\subseteq \operatorname {ext} {T}\subseteq \partial {T}$.
• Der Satz von Straszewicz wird in der Monographie von Kurt Leichtweiß auch als Darstellungssatz von Straszewicz bezeichnet(, wobei sich Leichtweiß lediglich auf die obige Mengengleichung bezieht).

Literatur

• Arne Brøndsted: An Introduction to Convex Polytopes (= Graduate Texts in Mathematics. Band 90). Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1983, ISBN 0-387-90722-X (MR0683612). 
• Branko Grünbaum: Convex Polytopes (= Graduate Texts in Mathematics. Band 221). Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg 2003, ISBN 0-387-00424-6 (MR1976856). 
• Victor L. Klee, Jr.: Extremal structure of convex sets. II. In: Mathematische Zeitschrift. Band 69, 1958, S. 90–104, doi:10.1007/BF01187394 (MR0092113). 
• Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1980, ISBN 3-540-09071-1 (MR0586235). 
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 
• S. Straszewicz: Über exponierte Punkte abgeschlossener Punktmengen. In: Fundamenta Mathematicae. Band 24, 1935, S. 139–143. 

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Satz von Carathéodory (Verbesserung und Ergänzung)

Der Mathematiker Constantin Carathéodory hat im Jahre 1911 den folgenden bekannten Lehrsatz bewiesen:

(1) Ist (für zwei gegebene natürliche Zahlen $n$ und $d$ mit $n\leq d$ ) im euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{d}$ eine Teilmenge $M\subset \mathbb {R} ^{d}$ gegeben und ist diese in einem n-dimensionalen affinen Unterraum von $\mathbb {R} ^{d}$ enthalten, so ist die konvexe Hülle von $M$ gleich der Menge aller Konvexkombinationen, die aus maximal $n+1$ Elementen von $M$ gebildet werden. Formal ausgedrückt gilt also:

$\operatorname {conv} {M}=\bigcup _{T\subseteq M\;,\;|T|\leq n+1}{\operatorname {conv} {T}}$.

......

Verallgemeinerung des Satzes von Carathéodory

Im Jahre 1982 stellte der ungarische Mathematiker Imre Bárány eine Verallgemeinerung des Carathéodory'schen Satzes vor, den man als Satz von Bárány (englisch Bárány's Theorem) bezeichnen kann und der folgendes besagt:

(4) Sind $d+1$ Teilmengen $T_{1},\ldots ,T_{d+1}\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ gegeben sowie ein Raumpunkt $x_{0}\in \left(\bigcap _{j=1,\ldots ,d+1}{\operatorname {conv} {T_{j}}}\right)$, so existieren auch stets $d+1$ ausgewählte Raumpunkte $x_{j}\in T_{j}\;(j=1,\ldots ,d+1)$ derart, dass $x_{0}$ schon in der konvexen Hülle $\operatorname {conv} {\{x_{1},\ldots ,x_{d+1}\}}$ dieser $d+1$ Raumpunkte liegt.

Den Satz von Carathéodory gewinnt man dabei für den Spezialfall $T_{1}=T_{2}=\cdots =T_{d+1}$.

Satz von Krasnoselski

Der Satz von Krasnoselski (englisch Krasnosselsky’s theorem bzw. Krasnoselsky’s theorem bzw. Krasnosel'skii’s theorem) ist einer der klassischen Lehrsätze des mathematischen Teilgebiets der Konvexgeometrie und als solcher angesiedelt im Übergangsfeld zwischen Geometrie und Analysis. Er geht zurück auf eine wissenschaftliche Arbeit des sowjetischen Mathematikers Mark Alexandrowitsch Krasnoselski aus dem Jahre 1946. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen gewisse Teilmengen des Euklidischen Raums sternförmige Mengen sind. Er ist verwandt mit (und sogar eine Folgerung aus) dem Satz von Helly.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich zusammengefasst darstellen wie folgt:

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n$ und eine aus unendlich vielen Raumpunkten bestehenden kompakte Teilmenge $X\subset \mathbb {R} ^{n}$. Hier gebe es zu jeder aus $n+1$ Raumpunkten bestehenden Teilmenge $T\subset X$ einen zugehörigen Raumpunkt $p_{T}\in X$ dergestalt, dass jedes $t\in T$ von $p_{T}$ aus sichtbar (s. u.) ist.

Dann gilt:

$X$ ist sternförmig.

Zusatz: Die Behauptung des Satzes gilt auch dann noch, wenn man die obige Sichtbarkeitsbedingung abschwächt und sie lediglich für jede aus $n+1$ ordentlichen (s. u.) Raumpunkten bestehende Teilmenge $T\subset X$ fordert.

Erläuterungen

• Für zwei Punkte $p,q\in X$ ist $p$ von $q$ aus (in $X$) sichtbar – und umgekehrt! –, wenn ihre Verbindungsstrecke eine Teilmenge von $X$ ist, wenn also für ihre konvexe Hülle die Beziehung $\operatorname {conv} \{p,q\}\subseteq X$ gilt.
• Ein ordentlicher Punkt von $X$ ist ein Randpunkt $p\in \partial {X}$, der zugleich ein Stützpunkt von $X$ ist. Es ist dabei ein Stützpunkt von $X$ ein Raumpunkt $p\in \mathbb {R} ^{n}$, zu dem ein lineares Funktional $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ existiert, welches nicht die Nullabbildung ist und dabei die Beziehung $\sup _{x\in X}{f(x)}=f(p)$ erfüllt.

Literatur

• M. A. Krasnoselski: Sur un critère pour qu'un domaine soit étoilé. In: Matematitscheskii sbornik (N. S.). Band 19, 1946, S. 309–310 (MR0020248). 
• Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications (= Pure and Applied Mathematics). John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore 1982, ISBN 0-471-09584-2 (MR0655598). 
• Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1980, ISBN 3-540-09071-1 (MR0586235). 
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 
• Frederick A. Valentine: Convex Sets (= McGraw-Hill Series in Higher Mathematics). McGraw-Hill Book Co., New York, Toronto, London 1964 (MR0170264). 

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Kepler-Dreieck

Kepler-Dreieck ist ein Terminus der Dreiecksgeometrie. Als ein solches wird ein rechtwinkliges Dreieck der euklidischen Ebene bezeichnet, dessen drei Seitenlängen eine endliche geometrische Folge bilden. Hinsichtlich der Terminologie wird dabei – anknüpfend an den im Folgenden angegebenen Satz – auf eine von Johannes Kepler gemachte Bemerkung verwiesen, wonach die Geometrie zwei Schätze besitze, nämlich einerseits den Satz des Pythagoras und andererseits die Unterteilung einer Strecke nach dem Goldenen Schnitt.

Satz

Zur weiteren Charakterisierung der Kepler-Dreiecke gilt der folgende Satz, der aus einer Arbeit von Roger Herz-Fischler aus dem Jahre 1993 hervorgeht:

Ein rechtwinkliges Dreieck in der euklidischen Ebene ist genau dann ein Kepler-Dreieck, wenn es einem Dreieck mit den Seitenlängen $1\;,\;{\sqrt {\Phi }}\;,\;\Phi$ ähnlich ist, wobei $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{,}618\ldots$ für das Teilungsverhältnis des Goldenen Schnitts steht.

Siehe auch

• Artikel „Kepler triangle“ in der englischsprachigen Wikipedia

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum, Berlin (u. a.) 2013, ISBN 978-3-642-34792-4. 
• R. Herz-Fischler: A “very pleasant theorem”. In: College Mathematics Journal. Band 24, 1993, S. 318–324. 

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Der Inkreis eines rechtwinkligen Dreiecks

Liegt speziell ein rechtwinkliges Dreieck in der euklidischen Ebene vor, so lassen sich weitergehende Angaben zum Inkreis eines solchen Dreiecks machen.

Radius des Inkreises

Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks mit Seitenlängen $a$, $b$ und $c$, wobei $c$ die Länge der Hypotenuse sein soll, kann man für den Inkreisradius $r$ zwei einfache Gleichungen angeben, welche wie folgt lauten:

$r={\frac {a\cdot b}{a+b+c}}={\frac {a+b-c}{2}}$ .

Flächenformel

Der Tangentialpunkt, in dem die Hypotenuse den Inkreis berührt, zerlegt diese in die Teilstrecken mit den Längen

$x=a-r$

und

$y=b-r$ .

Damit gilt dann in Hinblick auf den Flächeninhalt $A$ des rechtwinkligen Dreiecks

$A={\frac {a\cdot b}{2}}=(a-r)\cdot (b-r)=x\cdot y$ .

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum, Berlin (u. a.) 2013, ISBN 978-3-642-34792-4. 

Einzelnachweise

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Ungleichung von Padoa

Die Ungleichung von Padoa (englisch Padoa’s inequality) ist eine fundamentale Ungleichung der Dreiecksgeometrie. Sie geht auf den italienischen Mathematiker Alessandro Padoa zurück und wurde von diesem im Jahre 1925 publiziert. Die Ungleichung setzt zwei aus den Seitenlängen eines Dreiecks gebildete Produkte in Beziehung und ist äquivalent mit der eulerschen Dreiecksungleichung.

Darstellung der Ungleichung

Padoas Ungleichung besagt Folgendes:

Ist in der euklidischen Ebene ein beliebiges Dreieck $ABC$ gegeben und haben dessen Seiten die Längen $a,b,c$, so gilt stets die Ungleichung

(P) $abc\geq \left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)$  .

Anmerkungen zum Beweis

Alsina und Nelsen folgend kann man die Ungleichung von Padoa unter Benutzung der sogenannten Ravi-Substitution mit Hilfe der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel herleiten.

Die Ravi-Substitution setzt an bei der Tatsache, dass jede der drei Seiten von $ABC$ durch den mit dem Inkreis gemeinsamen Tangentialpunkt in zwei Teilstrecken aufgeteilt wird, wobei an jedem Eckpunkt die zwei dort inzidierenden Teilstrecken von gleicher Länge sind. Nimmt man diese Längen, so hat man positive Zahlen $x,y,z$ mit

$a=x+y$

$b=y+z$

$c=z+x$  .

Damit lässt sich Padoas Ungleichung in der Form

(P^') $\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\geq 8xyz$

schreiben.

Nun ist jedoch nach der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

$x+y\geq 2{\sqrt {xy}}$

$y+z\geq 2{\sqrt {yz}}$

$z+x\geq 2{\sqrt {zx}}$

und durch Multiplikation der jeweiligen linken und rechten Seiten und unter Beachtung der Monotoniegesetze für Ungleichungen erhält man sogleich (P^') und damit (P).

Äquivalenz mit der eulerschen Ungleichung

Die Tatsache, dass die padoasche und die eulersche Ungleichung äquivalent sind, lässt sich auf drei grundlegende Gleichungen zurückführen. Indem man nämlich im Dreieck $ABC$ den Umkreis- bzw. Inkreisradius mit $R$ bzw. $r$ bezeichnet sowie mit $F$ dessen Flächeninhalt und dabei $s=x+y+z$ setzt, so erhält man durch elementargeometrische Überlegungen

(G₁) $4FR=abc$

(G₂) $r^{2}s=xyz$

(G₃) $F=rs$

und daraus sogleich die Äquivalenz der beiden Ungleichungen.

Verwandte Ungleichungen

Mit den gleichen Bezeichnungen wie oben hat man zudem:

(V₁) ${\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}\geq {\sqrt {a+b-c}}+{\sqrt {b+c-a}}+{\sqrt {c+a-b}}$

(V₂) ${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}\leq {\frac {1}{a+b-c}}+{\frac {1}{b+c-a}}+{\frac {1}{c+a-b}}$

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More : Visualizing Basic Inequalities (= The Dolciani Mathematical Expositions. Band 36). The Mathematical Association of America, Washington, DC 2009, ISBN 978-0-88385-342-9 (MR2498836). 
• Albert W. Marshall, Ingram Olkin: Inequalities: Theory and Majorization and Its Applications. Academic Press, New York, London, Toronto, Sydney, San Francisco 1979, ISBN 0-12-473750-1 (MR0552278). 
• A. Padoa: Una questione di minimo. In: Periodico di Matematiche. Band 4, 1925, S. 80–85. 

Einzelnachweise

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Satz von Kirchberger

Der Satz von Kirchberger ist einer der klassischen Lehrsätze des mathematischen Teilgebiets der Konvexgeometrie. Er geht auf die Dissertation des Mathematikers Paul Kirchberger zurück und ist eng verwandt mit und sogar eine unmittelbare Folgerung aus dem bekannten Satz von Helly. Der kirchbergersche Satz gab Anlass zu weiterer Forschungstätigkeit und zur Auffindung einer Anzahl von Lehrsätzen ähnlichen Typs.

Formulierung des Satzes

Der Satz von Kirchberger lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n$ und zwei endliche Mengen $A,B\subset \mathbb {R} ^{n}$und dabei seien für jede aus höchstens $n+2$ Raumpunkten bestehende Teilmenge $C\subseteq {A\cup B}$ die beiden Untermengen $C\cap A$ und $C\cap B$ stets durch eine Hyperebene des $\mathbb {R} ^{n}$ strikt trennbar.

Dann gilt:

$A$ und $B$ sind ebenfalls durch eine Hyperebene des $\mathbb {R} ^{n}$ strikt trennbar.

Erweiterung

Der Satz von Kirchberger lässt sich erweitern, indem man die Voraussetzung der Endlichkeit der Punktmengen $A,B\subset \mathbb {R} ^{n}$ abschwächt. Die Behauptung des Satzes bleibt bestehen auch für den Fall, dass man - bei sonst gleichen Voraussetzungen - $A$ und $B$ lediglich als kompakte Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ voraussetzt. Diesen erweiterten Satz bezeichnet man ebenfalls als Satz von Kirchberger.

Zur Historie

Paul Kirchberger war ein Schüler von David Hilbert und hat bei diesem im Jahre 1902 mit der Dissertation Über Tschebyschefsche Annäherungsmethoden promoviert. Auszüge aus dieser Dissertation hat Kirchberger in Band 57 der Mathematischen Annalen im Jahre 1903 veröffentlicht. Der hier vorgetragene Satz erscheint dort in Kapitel III („Ein Hülfssatz“). Wie einige Autoren - etwa Alexander Barvinok und Steven R. Lay - hervorheben, hat Kirchberger seinen Lehrsatz mehrere Jahre vor der Publikation (und damit ohne Zuhilfenahme) des Satzes von Helly bewiesen.

Quellen und Literatur

• Alexander Barvinok: A Course in Convexity (= Graduate Studies in Mathematics. Band 54). American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 2002, ISBN 0-8218-2968-8 (MR1940576). 
• Paul Kirchberger: Über Tschebyschefsche Annäherungsmethoden. In: Mathematische Annalen. Band 57, 1903, S. 509–540 (MR1511222). 
• Steven R. Lay: Convex Sets and Their Applications. John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore 1982, ISBN 0-471-09584-2. 
• Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1980, ISBN 3-540-09071-1 (MR0586235). 
• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser, Basel, Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737). 
• Jan van Tiel: Convex Analysis. An Introductory Text. John Wiley & Sons, Chichester, New York, Brisbane, Toronto, Singapore 1984 (MR0743904). 
• R. J. Webster: Another simple proof of Kirchberger's theorem. In: Journal of Mathematical Analysis and Applications. Band 92, 1983, S. 299–300 (MR0694178). 

Einzelnachweise und Anmerkungen

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Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte

Dieser Satz der Elementargeometrie ist weitgehend bekannt, gehört aber gewissermaßen zur mathematischen Folklore, da er vielfach in den heutigen Lehrbüchern der Elementargeometrie nicht weiter erwähnt wird. Eine Ausnahme bilden die Mathematische Unterhaltungen des Friedrich Joseph Pythagoras Riecke, welche zwischen 1867 und 1873 erstmals erschienen (und 1973 einen Nachdruck erfuhren).

Formulierung des Satzes

Der Satz lautet wie folgt:

Gegeben sei ein Dreieck $ABC$ der euklidischen Ebene mit $S$ als Schwerpunkt.

Dann gilt:

$S$ ist derjenige eindeutig bestimmte Punkt im Inneren $(\operatorname {conv} \{A,B,C\})^{\circ }$ der Dreiecksfläche, durch dessen drei Verbindungsstrecken zu den Eckpunkten des Dreiecks dieses in drei Teildreiecke gleichen Flächeninhalts aufgeteilt wird.

Beweis des Satzes

Es gibt mehrere Beweise für diesen einfachen, aber wichtigen Satz:

Beweis mittels Elementargeometrie

Der Satz lässt sich - anschließend an Rieckes Darstellung - im Wesentlichen elementargeometrisch führen, indem man zunächst zeigt, dass der Schwerpunkt $S$ die geforderte Eigenschaft hat. Dieser Ansatz basiert auf der Betrachtung ähnlicher Dreiecke und der Tatsache, dass der Schwerpunkt jede Seitenhalbierende im Verhältnis $2:1$ teilt.

Nun kann man sich offenbar auf eines der drei Teildreiecke beschränken, und zwar auf das mit der Seite ${\overline {AB}}$ als Grundlinie. Im Teildreieck $ABS$ soll der Fußpunkt der von $S$ aus auf die Grundlinie ${\overline {AB}}$ gefällte Höhe der Punkt $E$ sein, während im Dreieck $ABC$ der Fußpunkt der von $C$ aus auf ${\overline {AB}}$ gefällte Höhe der Punkt $F$ sein soll.

Damit hat man:

${\begin{aligned}F_{ABC}:F_{ABS}&={\text{Länge }}({\overline {CF}}):{\text{Länge }}({\overline {SE}})\\&={\text{Länge }}({\overline {CD}}):{\text{Länge }}({\overline {SD}})\\&=3:1\\\end{aligned}}$

und damit

$F_{ABS}={\frac {1}{3}}F_{ABC}$.

Der Schwerpunkt $S$ hat demnach die geforderte Eigenschaft.

Auf der anderen Seite kann kein anderer Punkt $S^{*}\neq S$ im Inneren $(\operatorname {conv} \{A,B,C\})^{\circ }$ der Dreiecksfläche die gezeigte Flächendrittelungseigenschaft haben:

Denn nimmt man einen beliebigen solchen Punkt, etwa - ohne Beschränkung der Allgemeinheit - einen im Inneren $(\operatorname {conv} \{A,B,S\})^{\circ }$ des soeben untersuchten Teildreiecks $ABS$.

Dann folgt sogleich

$F_{AB{S^{*}}}<F_{ABS}$

und damit

$F_{AB{S^{*}}}<{\frac {1}{3}}F_{ABC}$

und schließlich der Nachweis, dass $S$ als einziger Punkt im Inneren der Dreiecksfläche die geforderte Eigenschaft besitzt.

Beweis mittels Analytischer Geometrie

Es gibt jedoch auch einen eher gleichungsrechnerisch angelegten Weg unter Anwendung der Flächenformeln der Analytischen Geometrie. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit - da Flächeninhalte unter Bewegungen der euklidischen Ebene invariant bleiben - kann angenommen werden, dass das Dreieck im rechten oberen Quadranten liegt, wobei der Eckpunkt $A$ als mit dem Ursprung identisch vorausgesetzt wird, die Seite ${\overline {AB}}$ als auf der Abszissenachse liegend und hinsichtlich ihrer Länge die der beiden anderen Seiten übertreffend oder zumindest nicht unterschreitend. Es sei also angenommen:

(1) $A={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

(2) $B={\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$ mit $x={\text{Länge }}({\overline {AB}})>0$

(3) $C={\begin{pmatrix}y\\z\end{pmatrix}}$ mit $x\geq y>0$

Gesucht ist nun einen Punkt

(I) $P={\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}$ mit $p>0\;,\;q\geq 0$,

für den hinsichtlich der Flächeninhalte folgendes gelte:

(II) $F_{ABP}=F_{BCP}=F_{CAP}={\frac {1}{3}}F_{ABC}$

Dann lässt sich zeigen, dass dieser Punkt der Schwerpunkt ist.

Dazu stellen wir fest:

(4) $F_{ABC}={\frac {xz}{2}}$

(5) $F_{ABP}={\frac {xq}{2}}$

(6) $F_{CAP}=F_{APC}={\frac {1}{2}}\cdot |\det \left({\begin{matrix}1&0&0\\1&p&q\\1&y&z\end{matrix}}\right)|={\frac {1}{2}}\cdot |pz-yq|$

(7) $F_{BCP}={\frac {1}{2}}\cdot |\det \left({\begin{matrix}1&x&0\\1&y&z\\1&p&q\end{matrix}}\right)|={\frac {1}{2}}\cdot |(yq-pz)-x(q-z)|$

Angesichts von (4) - (7) ist (II) gleichwertig mit

(IIa) $q={\frac {z}{3}}$

(IIb) $3\cdot |pz-qy|=xz$

(IIc) $3\cdot |(qy-pz)-x(q-z)|=xz$

und damit wegen $p>0\;,\;0<y\leq x$ auch gleichwertig mit

(IIe) $q={\frac {z}{3}}$

(IIf) $3p-y=x$

und schließlich auch gleichwertig mit

(IIg) $q={\frac {0+0+z}{3}}$

(IIh) $p={\frac {0+x+y}{3}}$,

womit alles gezeigt ist.

Literatur

• Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. Dr. Martin Sändig, Walluf bei Wiesbaden 1973, ISBN 3-500-26010-1 (Unveränderter Neudruck der Ausgabe Stuttgart 1867–1873). 

Einzelnachweise und Anmerkungen

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Satz von Reuschle

Der Satz von Reuschle, gefunden und im Jahre 1853 veröffentlicht von dem deutschen Gelehrten Karl Gustav Reuschle, ist ein Lehrsatz der elementaren euklidischen Geometrie und als solcher angesiedelt zwischen Dreiecks- und Kreisgeometrie. Der Satz behandelt eine Fragestellung über Schnittpunkteigenschaften gewisser Dreieckstransversalen, die man in ähnlicher Form etwa im Zusammenhang mit der Euler-Geraden und dem feuerbachschen Neun-Punkte-Kreis antrifft. Der Beweis von Reuschles Lehrsatz beruht auf dem Sekantensatz sowie dem Satz von Ceva und dessen Kehrsatz.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich in moderner Formulierung angeben wie folgt:

Es seien in der euklidischen Ebene ein Dreieck $ABC$ gegeben sowie ein Kreis ${\mathcal {K}}$ , welcher aus jeder Dreiecksseite eine Kreissehne ausschneiden möge.

Dabei sei für den Eckpunkt $X\in \{A,B,C\}$ die in der gegenüberliegenden Dreiecksseite enthaltene Kreissehne die Strecke ${\overline {{X_{1}}{X_{2}}}}\;(X_{1},X_{2}\in {\mathcal {K}}\;,\;X_{1}\neq X_{2})$, also ${\overline {{A_{1}}{A_{2}}}}\subsetneqq {\overline {BC}}\;,\;{\overline {{B_{1}}{B_{2}}}}\subsetneqq {\overline {AC}}\;,\;{\overline {{C_{1}}{C_{2}}}}\subsetneqq {\overline {AB}}$ .

Jeder Eckpunkt $X$ werde mit den beiden gegenüberliegenden Sehnenendpunkten $X_{1},X_{2}$ durch die zugehörigen Ecktransversalen ${XX_{1}},{XX_{2}}$ verbunden .

Dann gilt:

Treffen sich die ersten drei Ecktransversalen ${AA_{1}},{BB_{1}},{CC_{1}}$ in einem gemeinsamen Schnittpunkt $S_{1}$, so treffen sich die anderen drei Ecktransversalen ${AA_{2}},{BB_{2}},{CC_{2}}$ ebenfalls in einem gemeinsamen Schnittpunkt $S_{2}$.

Mit anderen Worten:

Legt man in einem Dreieck $ABC$ der euklidischen Ebene durch einen gegebenen inneren Punkt $S_{1}\in (\operatorname {conv} \{A,B,C\})^{\circ }$ die drei zugehörigen Ecktransversalen mit den Fußpunkten $A_{1}\in {\overline {BC}},B_{1}\in {\overline {AC}},C_{1}\in {\overline {AB}}$ und schneidet der Umkreis des Fußpunktdreiecks $A_{1}B_{1}C_{1}$ aus den Dreiecksseiten drei Kreissehnen ${\overline {{A_{1}}{A_{2}}}}\subsetneqq {\overline {BC}}\;,\;{\overline {{B_{1}}{B_{2}}}}\subsetneqq {\overline {AC}}\;,\;{\overline {{C_{1}}{C_{2}}}}\subsetneqq {\overline {AB}}$ aus, so haben die so gegebenen Ecktransversalen ${AA_{2}},{BB_{2}},{CC_{2}}$ ebenfalls einen gemeinsamen Schnittpunkt $S_{2}$ .

Literatur

• Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. Dr. Martin Sändig, Walluf bei Wiesbaden 1973, ISBN 3-500-26010-1 (Unveränderter Neudruck der Ausgabe Stuttgart 1867–1873). 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Dreiecksgeometrie]]

KKKategorie:Euklidische Geometrie]]

KKKategorie:Satz (Mathematik)|Reuschle]]

Geometrischer Schwerpunkt endlich vieler Punkte im reellen Vektorraum

Sind in einem $\mathbb {R}$-Vektorraum ${\mathcal {V}}$ für eine natürliche Zahl $m$ paarweise verschiedene Punkte $x_{1},\dots ,x_{m}\in {\mathcal {V}}$ gegeben, so ist deren geometrischer Schwerpunkt $s$ definiert als

$s={\frac {1}{m}}{\sum _{i=1}^{m}{x_{i}}}$   .

In diesen Zusammenhang fällt der Begriff des Schwerpunkts eines $k$-dimensionalen Simplexes $\Delta \subset \mathbb {R} ^{n}\;(k,n\in \mathbb {N} _{0})$. Hat ein solches Simplex die Eckpunkte $v_{0},\ldots ,v_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$, so ist sein Schwerpunkt $s_{\Delta }$ nichts weiter als der geometrische Schwerpunkt seiner Eckpunkte, also:

$s_{\Delta }={\frac {1}{k+1}}{\sum _{i=0}^{k}{v_{i}}}$   .

Der Schwerpunkt eines solchen Simplexes zeichnet sich also dadurch aus, dass seine baryzentrischen Koordinaten in Bezug auf das Simplex alle gleich, nämlich

$={\frac {1}{k+1}}$

sind.

Bilden diese endlich vielen verschiedenen Punkte die Menge aller Eckpunkte einer geometrischen Figur im euklidischen Raum, so bezeichnet man den geometrischen Schwerpunkt all dieser auch als Eckenschwerpunkt der Figur. Beispiele hierfür geben insbesondere die Strecke, das Dreieck und das Tetraeder. Für Vierecke gilt nach Pierre de Varignon (1654–1722), dass der Eckenschwerpunkt eines Vierecks zugleich der Mittelpunkt der beiden Mittellinien, also der beiden Verbindungsstrecken gegenüberliegender Seitenmittelpunkte ist.

Wegen Dreieck

Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist sich zudem derjenige eindeutig bestimmte Punkt im Inneren des Dreiecks, dessen drei Verbindungsstrecken zu den Eckpunkten des Dreiecks dieses in drei Teildreiecke gleichen Flächeninhalts aufteilen.

Literatur

• Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 4 - S bis Z. Aulis Verlag, Köln 1978, ISBN 3-7614-0242-2, S. 943–944. 
• H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Ins Deutsche übersetzt von J. J. Burckhardt (= Wissenschaft und Kultur. Band 17). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1963 (MR0692941). 
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X, S. 31 ff. (MR0533264). 
• Harald Scheid (Hrsg.): DUDEN: Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim - Wien - Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2. 

Siehe auch

• Satz von Commandino
• Seitenhalbierende

Einzelnachweise und Notizen

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KKKategorie:Euklidische Geometrie]]

Satz von Commandino (ergänzt)

Der Satz von Commandino ist ein Lehrsatz der Raumgeometrie, welcher auf den italienischen Mathematiker Federigo Commandino (1506–1575) zurückgeht. Er behandelt eine elementare Durchschnittseigenschaft der Mittellinien (engl. medians) des allgemeinen Tetraeders. Der Satz ist das dreidimensionale Analogon des Durchschnittssatzes über die Seitenhalbierenden in der Dreiecksgeometrie.

Formulierung des Satzes

Gegeben sei ein Tetraeder ${\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ . Jeder der vier Eckpunkte $X=A,\,B,\,C,\,D$ von ${\mathcal {T}}$ ist mit dem Schwerpunkt ${S'}_{X}$ der gegenüberliegenden Dreiecksfläche $\Delta '_{X}$ durch eine Gerade verbunden, nämlich durch die zu $X$ gehörige Mittellinie   $m_{X}\subset \mathbb {R} ^{3}$.

Dafür gilt:

Der Durchschnitt  $\textstyle \bigcap _{X=A,\,B,\,C,\,D}{m_{X}}$  der vier Mittellinien besteht aus genau einem Punkt.

Dies ist der Schwerpunkt $S({\mathcal {T}})$ des Tetraeders ${\mathcal {T}}$.

Dabei beträgt das Teilverhältnis $\lambda$, in dem der Schwerpunkt $S({\mathcal {T}})$ die Strecke ${\overline {{{S'}_{X}}X}}$ zweiteilt, stets   $\lambda$ = 1 : 3   und der Eckpunkt $X$ ist stets Eckpunkt der längeren der zwei Teilstrecken.

Verallgemeinerungen

Der dem Satz von Commandino entsprechende Sachverhalt gilt für Simplexe beliebiger Dimension:

Ist $\Delta$ ein $p$-Simplex beliebiger Dimension $p>1$ im $\mathbb {R} ^{n}\;(p,n\in \mathbb {N} ,n\geq p)$ und sind $X(0),X(1),\dots ,X(p)$ seine Eckpunkte, so treffen sich die Mittellinien   $m_{X(0)},m_{X(1)},\dots ,m_{X(p)}$, also die Verbindungsgeraden der $\Delta$-Eckpunkte $X(i)(i=0,1,\dots ,p)$ mit den Schwerpunkten $S'_{X(i)}$ der jeweils gegenüberliegenden $(p-1)$-dimensionalen Seitenflächen $\Delta '_{X(i)}$ , genau im Schwerpunkt $S(\Delta )$ des $p$-Simplexes.

Dabei ist das Teilverhältnis, in dem der Schwerpunkt $S(\Delta )$ die Strecke ${\overline {{S'_{X(i)}}{X(i)}}}$ zweiteilt, gleich   $1:p$   .   $X(i)$ ist also Eckpunkt der längeren der zwei Teilstrecken und der Abstand zwischen $X(i)$ und $S(\Delta )$ ist stets das ${\tfrac {p}{p+1}}$-fache des Abstandes zwischen $X(i)$ und $S'_{X(i)}$.

Allgemeiner Satz

In voller Allgemeinheit gilt sogar der folgende Satz, der eine grundlegende Beziehung ausweist, welche dem Hebelgesetz der Physik entspricht:

Gegeben seien natürliche Zahlen $m$ und $k$ sowie dazu in einem $\mathbb {R}$-Vektorraum ${\mathcal {V}}$   $m+k$ paarweise verschiedene Punkte $X_{1},\dots ,X_{m},Y_{1},\dots ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}$.

Der Schwerpunkt dieser $m+k$ Punkte sei $S$, während $S_{X}$ der Schwerpunkt der $X_{i}\;(i=1,\dots ,m)$ und $S_{Y}$ derjenige der $Y_{j}\;(j=1,\dots ,k)$ sein möge.

Dann gilt:

${\begin{aligned}S&=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})\\&={\frac {m}{m+k}}S_{X}+{\frac {k}{m+k}}S_{Y}\\\end{aligned}}$

Der Schwerpunkt $S$ liegt demnach auf der Strecke ${\overline {{S_{X}}{S_{Y}}}}$ und teilt diese im Verhältnis $k:m$.

Der Lehrsatz von Reusch

Der obige allgemeine Satz schließt nicht nur die obige Verallgemeinerung des Satzes von Commandino (und damit diesen selbst) in sich ein, sondern offenbar auch einen weiteren interessanten Satz über die Schwerpunkte der Tetraeder, der nach den Mathematische Unterhaltungen von Friedrich Joseph Pythagoras Riecke auf den Tübinger Professor der Physik Friedrich Eduard Reusch zurückgeht und sich wie folgt darstellen lässt:

Man findet den Schwerpunkt eines Tetraeders, indem man zu zwei Paaren gegenüberliegender Kanten die Mittelpunkte bestimmt und die beiden paarweise gegenüberliegenden Kantenmittelpunkte durch die zugehörigen Mittellinien verbindet. Der Schnittpunkt der beiden so gewonnenen Mittellinien ist der Schwerpunkt des Tetraeders.

In Verbindung mit der Tatsache, dass ein Tetraeder genau drei Paare gegenüberliegender Kanten hat, entnimmt man dem Lehrsatz von Reusch noch das folgende Resultat:

In einem Tetraeder schneiden sich die drei zu gegenüberliegenden Kantenmittelpunkten gehörigen Mittellinien in einem Punkt, nämlich im Schwerpunkt des Tetraeders.

Der Lehrsatz von Varignon

Im Zusammenhang mit dem obigen allgemeinen Satz ist neben dem Lehrsatz von Reusch auch ein verwandter Lehrsatz von Pierre de Varignon über die Schwerpunkte von Vierecken im euklidischen Raum zu nennen. Dieser Lehrsatz, der auch als Satz von Varignon bezeichnet wird, besagt folgendes:

Im $\mathbb {R} ^{n}\;(n\geq 2)$ sei ein Viereck mit vier verschiedenen Eckpunkten gegeben, welche nicht notwendig in einer Ebene liegen müssen.

Dann gilt:

Die beiden Mittellinien, also die beiden Verbindungsstrecken gegenüberliegender Seitenmittelpunkte, schneiden sich im Eckenschwerpunkt der vier Eckpunkte und werden dabei von diesem jeweils halbiert.

Siehe auch

• Satz von Varignon
• Diagonalensatz

Literatur

• Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, Bronx NY 1964, OCLC 1597161. 
• H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Ins Deutsche übersetzt von J. J. Burckhardt (= Wissenschaft und Kultur. Band 17). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1963 (MR0692941). 
• Howard Eves: An Introduction to the History of Mathematics. 5. Auflage. Saunders College Publishing, Philadelphia [u. a.] 1983, ISBN 0-03-062064-3. 
• Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264). 
• Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Zweites Heft. Dr. Martin Sändig, Walluf bei Wiesbaden 1973, ISBN 3-500-26010-1 (Unveränderter Neudruck der Ausgabe Stuttgart 1867–1873). 
• Harald Scheid (Hrsg.): DUDEN: Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim - Wien - Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2. 

Einzelnachweise und Notizen

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Satz von Brune

Der Satz von Brune, gefunden und im Jahre 1841 veröffentlicht von einem Berliner Rechnungsrat Brune, ist ein Lehrsatz der elementaren Vierecksgeometrie. Der Satz behandelt und beantwortet die Frage, wie ein konvexes Viereck der euklidischen Ebene konstruktiv in vier Teilvierecke identischen Flächeninhalts aufgeteilt werden kann.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei ein beliebiges konvexes Viereck $ABCD$ der euklidischen Ebene. Auf den beiden Diagonalen $AC$ und $BD$ seien $M$ und $N$ die beiden Mittelpunkte.

Der Punkt $O$ sei im Falle $M=N$, also falls $ABCD$ ein Parallelogramm ist, der Punkt $M$, während $O$ im anderen Falle derjenige Schnittpunkt sein möge, welcher sich ergibt, wenn man durch jede der beiden Diagonalenmittelpunkte $M$ und $N$ die Parallele zur jeweils anderen Diagonalen zieht.

Dann gilt:

Verbindet man den Punkt $O$ mit den Mittelpunkten der vier Seiten des Vierecks, so wird das Viereck aufgeteilt in vier Teilvierecke, deren Flächeninhalt jeweils ${\tfrac {1}{4}}$ des Flächeninhalts von $ABCD$ ausmacht.

Literatur

• D. Brune: Eine Eigenschaft des Vierecks. In: Crelles Journal. Band 22, 1841, S. 379 ([2] – MR1578286). 
• Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. Dr. Martin Sändig, Walluf bei Wiesbaden 1973, ISBN 3-500-26010-1 (Unveränderter Neudruck der Ausgabe Stuttgart 1867–1873). 

Einzelnachweise und Notizen

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Gleichung von Euler-Fuß [zuvor Satz von Euler (Sehnen- und Tangentenviereck)]

Eines der vielen Resultate von Leonhard Euler in der elementaren Vierecksgeometrie steht im Zusammenhang mit dem Problem, wann in der euklidischen Ebene zu zwei gegebenen ineinanderliegenden Kreisen ein konvexes Viereck existiert, welches sowohl Sehnenviereck des größeren Kreises als auch Tangentenviereck des kleineren Kreises ist. Euler hat dazu eine Gleichung gefunden, welche eng verwandt ist mit der in seinem Satz über den Abstand von Um- und Inkreismittelpunkt eines ebenen Dreiecks. Die erste veröffentlichte Darstellung und Herleitung der Gleichung hat Eulers Sekretär Nikolaus Fuß im Jahre 1798 geliefert.

Darstellung der Gleichung

Zu der Euler-Fuß'schen Gleichung gilt der folgende Lehrsatz, welcher den zugehörigen Satz von Fuss und dessen Umkehrung in sich vereinigt:

Gegeben seien zwei positive Zahlen $r$ und $R$ sowie zwei Kreise ${\mathcal {K}}_{r}$ und ${\mathcal {K}}_{R}$ der euklidischen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$, so dass ${\mathcal {K}}_{s}\;(s\in \{r,R\})$ den Radius $s$ besitze.

Dabei liege die Kreisscheibe $\operatorname {conv} ({\mathcal {K}}_{r})$ von ${\mathcal {K}}_{r}$ innerhalb der Kreisscheibe $\operatorname {conv} ({\mathcal {K}}_{R})$ von ${\mathcal {K}}_{R}$ und es sei $r<R$ .

Der Abstand der beiden Kreismittelpunkte sei $d$.

Dann gilt:

Dann und nur dann existiert in der euklidischen Ebene ein konvexes Viereck mit ${\mathcal {K}}_{r}$ als Inkreis und ${\mathcal {K}}_{R}$ als Umkreis, wenn die Gleichung

${\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(R-d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$

erfüllt ist.

Anmerkungen

• In Heinrich Dörries Mathematischen Miniaturen wird die Euler-Fuß'sche Gleichung auch unter dem Stichwort Fuß' Vierecksformel genannt. Dörrie gibt dort - unter Verwendung anderer Parameter - die folgende gleichwertige Gleichung an:

$2r^{2}(R^{2}+d^{2})=(R^{2}-d^{2})^{2}$

• Ein konvexes Viereck, welches sowohl einen Umkreis als auch einen Inkreis besitzt, nennt man Heinrich Dörrie zufolge auch ein bizentrisches Viereck.
• Heinrich Dörrie verweist in seinem Triumph der Mathematik darauf, dass Nikolaus Fuß ebenso die entsprechenden Formeln für das bizentrische Fünfeck, Sechseck, Siebeneck und Achteck gefunden hat.

Quellen und Literatur

• Julian Lowell Coolidge: A Treatise on the Circle and the Sphere. (Corrected reprint of the 1916 edition). Chelsea Publishing Company, Bronx, N.Y. 1971, ISBN 0-8284-0236-1 (archive.org). 
• Heinrich Dörrie: Triumph der Mathematik. 100 berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur. 5. Auflage. Physica-Verlag, Würzburg 1958. 
• Heinrich Dörrie: Mathematische Miniaturen. 2. Auflage. Sändig, Wiesbaden 1979, ISBN 3-500-21150-X (unveränderter Nachdruck der Ausgabe 1943). 
• Max Simon: Über die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX. Jahrhundert. Bericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1906 ([3]). 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Vierecksgeometrie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Euler-Fuß, Gleichung von]]

Formel von W. K. B. Holz

Die Formel von W. K. B. Holz, benannt nach Walter K. B. Holz (1908–1993), ist eine mathematische Formel, welche im Übergangsfeld zwischen Dreiecksgeometrie und Kreisgeometrie angesiedelt ist und mit deren Hilfe der Radius des inneren Soddy-Kreises eines Dreiecks der euklidischen Ebene berechnet werden kann. Die Formel von Holz steht in direkter Verwandtschaft zum Satz von Descartes.

Darstellung der Formel

Die Formel besagt folgendes:

Gegeben sei ein beliebiges Dreieck $ABC$ der euklidischen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ .

Es seien - wie üblich - die Seitenlängen mit $a,b,c$, der halbierte Umfang mit $s$, der Inkreisradius mit $r$ und die drei Ankreisradien mit $r_{a},r_{b},r_{c}$ bezeichnet.

Für $(X,x)\in \{(A,a),(B,b),(C,c)\}$ sei ${\mathcal {K}}_{X}$ der jeweilige Kreis um den Eckpunkt $X$ mit dem Radius $s-x$ und dabei sei ${\mathcal {K}}$ der innere Soddy-Kreis zu diesen drei Kreisen.

Der Radius von ${\mathcal {K}}$ sei $\sigma$.

Dann gelten folgende Gleichungen:

(I) ${\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}$

(II) ${\frac {1}{\sigma }}={\frac {1}{s-a}}+{\frac {1}{s-b}}+{\frac {1}{s-c}}+{\frac {2}{r}}$

Erläuterungen, Hinweise und weitere Formeln

• Es wird hier unter einem Kreis stets eine Kreislinie verstanden, also eine $1$-dimensionale kompakte Teilmenge der euklidischen Ebene $\mathbb {R} ^{2}$. Ein Kreis ${\mathcal {k}}\subset \mathbb {R} ^{2}$ ist danach von der ihm zugehörigen Kreisscheibe $\operatorname {conv} ({\mathcal {k}})\subset \mathbb {R} ^{2}$, also von seiner konvexen Hülle, zu unterscheiden.
• Über Soddy-Kreise und zugehörige Fragen zu Berührkreisen haben neben Frederick Soddy auch Jakob Steiner und Ludwig Bieberbach gearbeitet.
• H. S. M. Coxeter zufolge existiert der oben beschriebene Kreis ${\mathcal {K}}$ stets. Coxeter spricht dabei nicht explizit vom inneren Soddy-Kreis, sondern umschreibt diesen. Es ist derjenige Berührkreis der drei Kreise ${\mathcal {K}}_{X}$, in dessen Äußerem $\mathbb {R} ^{2}\setminus {\operatorname {conv} ({\mathcal {K}})}$ alle drei Eckpunkte des Dreiecks liegen. Es lässt sich also sagen - und so beschreibt es auch Coxeter - dass der innere Soddy-Kreis derjenige Berührkreis der drei Kreise ${\mathcal {K}}_{X}$ ist, der von den dreien eingeschlossen wird.
• Anders als im Falle des inneren Soddy-Kreises muss ein äußerer Berührkreis ${\mathcal {K}}^{'}$ zu den drei Kreisen ${\mathcal {K}}_{X}$, also einer, dessen Kreisscheibe ${\operatorname {conv} }({\mathcal {K}}^{'})$ sämtliche Eckpunkte des Dreiecks und die drei ${\mathcal {K}}_{X}$ enthält, nicht in jedem Falle existieren. Dies gilt Coxeter zufolge insbesondere für den Fall, dass das Dreieck $ABC$ sehr «stumpf» ist.
• Ist $S$ der Mittelpunkt von ${\mathcal {K}}$, so gilt hinsichtlich seiner Abstände zu den drei Eckpunkten des Dreiecks:

(III) ${\overline {SX}}=\sigma +s-x\;\;(\,(X,x)\in \{(A,a),(B,b),(C,c)\}\,)$

• Es gilt die folgende Gleichung:

(IV) ${\frac {2}{(s-a)^{2}}}+{\frac {2}{(s-b)^{2}}}+{\frac {2}{(s-c)^{2}}}+{\frac {2}{{\sigma }^{2}}}=({\frac {1}{s-a}}+{\frac {1}{s-b}}+{\frac {1}{s-c}}+{\frac {1}{\sigma }})^{2}$

Siehe auch

• Satz von Descartes
• Apollonisches Problem
• Heronsche Formel

Quellen und Literatur

• H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Ins Deutsche übersetzt von J. J. Burckhardt (= Wissenschaft und Kultur. Band 17). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1963 (MR0692941). 
• Nikolaos Dergiades: The Soddy circles. In: Forum Geometricorum. Band 7, 2007, S. 191–197 (MR2373402). 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Geometrie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Formel von Holz]]

Ergänzung im Artikel zu Leonardo da Vinci

In seinen Studien zur Architektur ging Leonardo der Frage nach, wie man einem Gebäude Kapellen und Nischen anfügen könne, ohne die Symmetrie des Gebäudekerns zu zerstören. Dem Mathematiker Hermann Weyl zufolge entdeckte Leonardo dabei ein mathematisches Resultat, das heute als Satz von Leonardo genannt wird und in dem die Frage nach der Struktur gewisser endlicher Isometriegruppen beantwortet wird.

Satz von Leonardo

Der Satz von Leonardo (englisch Leonardo's Theorem) ist ein Lehrsatz der Absoluten Geometrie, der dem Mathematiker Hermann Weyl zufolge auf Leonardo da Vinci zurückzuführen ist. Der Satz behandelt die Frage der Struktur endlicher Isometriegruppen absoluter Ebenen.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich in moderner Formulierung angeben wie folgt:

Gegeben sei eine Ebene $E$ der Absoluten Geometrie und zudem eine endliche Gruppe $\Gamma \subset \operatorname {Sym} _{E}$ von Isometrien auf $E$.

Dann gilt:

$\Gamma$ ist entweder eine zyklische Gruppe oder $\Gamma$ ist isomorph zu einer Diedergruppe. Der erste Fall liegt vor, wenn $\Gamma$ lediglich aus Drehungen besteht, während der zweite Fall gegeben ist, wenn $\Gamma$ neben Drehungen mindestens eine Geradenspiegelung enthält, welche nicht die identische Abbildung ist.

Zur Historie des Satzes

Nach Hermann Weyl entdeckte Leonardo den Satz, als er in seinen Studien zur Architektur der Frage nachging, wie man einem Gebäude Kapellen und Nischen anfügen könne, ohne die Symmetrie des Gebäudekerns zu zerstören.

Quellen und Literatur

• H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Ins Deutsche übersetzt von J. J. Burckhardt (= Wissenschaft und Kultur. Band 17). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1963, S. 54 (MR0692941). 
• George E. Martin: The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane. (Reprint) (= Undergraduate Texts in Mathematics). Springer Verlag, New York, Heidelberg, Berlin 1982, ISBN 0-387-90694-0, S. 386 ff. (MR0666074). 
• Daniel Pedoe: Geometry and the Visual Arts. Reprint of the edition 1976. Dover Publications, Inc., New York 1983, ISBN 0-486-24458-X, S. 95 ff., 258–261. 
• Hermann Weyl: Symmetrie. Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1955, S. 71,102 (MR0079586). 

Siehe auch

• Dreispiegelungssatz

Einzelnachweise

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KKKategorie:Absolute Geometrie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Leonardo]]

Dreibein (Geometrie)

In der Geometrie versteht man unter einem Dreibein (englisch trihedron) eine geometrische Figur des euklidischen Raums oder der euklidischen Ebene, welche aus einem gemeinsamen Punkt und drei von diesem Punkt ausgehenden Strecken oder Vektoren der gleichen Länge $d>0$ besteht. Es wird hier im Allgemeinen vorausgesetzt, dass diese Strecken bzw. Vektoren nicht alle auf einer Geraden liegen.

Begriffsbestimmungen und Erläuterungen

• Formal lässt sich ein Dreibein auffassen als ein Quadrupel ${\mathcal {D}}=(O,S_{1},S_{2},S_{3})$ mit drei paarweise verschiedenen Strecken $S_{1},S_{2},S_{3}$ des $\mathbb {R} ^{n}\;(n\geq 2)$, welche allesamt von derselben Länge $d>0$ sind, dabei $O\in \mathbb {R} ^{n}$ als gemeinsamen Eckpunkt und ansonsten paarweise keinen weiteren gemeinsamen Punkt haben.
• Den Punkt $O$ bezeichnet man als Scheitelpunkt des Dreibeins ${\mathcal {D}}$.
• Insbesondere sind die vier Eckpunkte eines Dreibeins nicht kollinear und die neben dem Scheitelpunkt $O$ gegebenen Eckpunkte $P_{i}\;(i=1,2,3)$ fallen nicht mit dem Punkt $O$ zusammen.
• Für das Dreibein ${\mathcal {D}}=(O,S_{1},S_{2},S_{3})$ ist also $S_{i}=[O,P_{i}]$. Dabei wird üblicherweise der zu der Strecke $S_{i}$ gehörige Vektor ${\vec {v}}_{i}={\overrightarrow {O{P_{i}}}}$ mit ihr identifiziert.
• Die drei Vektoren ${\vec {v}}_{i}={\overrightarrow {O{P_{i}}}}\;(i=1,2,3)$ sind zu je zweien $\mathbb {R}$-linear unabhängig und es gilt $d=\|{\vec {v}}_{i}\|_{2}=|S_{i}|\;(i=1,2,3)$.
• Man bezeichnet das zugehörige Quadrupel ${\mathcal {D}}^{'}=(O,{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3})$ ebenfalls als Dreibein.
• Genauso wird auch in Bezug auf das zugehörige Punktequadrupel ${\mathcal {D}}^{''}=(O,P_{1},P_{2},P_{3})$ von einem Dreibein gesprochen.
• Üblicherweise wird zwischen ${\mathcal {D}},{\mathcal {D}}^{'},{\mathcal {D}}^{''}$ nicht weiter unterschieden und der Zusammenhang als selbstverständlich gegeben betrachtet.

Besonderheiten

• Sind $S_{1},S_{2},S_{3}$ Strecken in der euklidischen Ebene oder in einer Ebene des euklidischen Raums, so nennt man ${\mathcal {D}}$ ein ebenes Dreibein.
• Sind $S_{1},S_{2},S_{3}$ Strecken im euklidischen Raum, die nicht alle in einer Ebene liegen, so nennt man ${\mathcal {D}}$ ein räumliches Dreibein. Dies ist genau dann der Fall, wenn die das Vektorentripel $({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3})$ $\mathbb {R}$-linear unabhängig ist.
• Ist ${\mathcal {D}}$ ein räumliches Dreibein und stehen $S_{1},S_{2},S_{3}$ paarweise zueinander senkrecht, so nennt man ${\mathcal {D}}$ ein orthogonales räumliches Dreibein.
• Ist ${\mathcal {D}}$ ein orthogonales räumliches Dreibein mit $d=1$, so nennt man ${\mathcal {D}}$ ein orthonormiertes räumliches Dreibein. In diesem Falle ist der Scheitelpunkt $O$ ein Eckpunkt des von $S_{1},S_{2},S_{3}$ aufgespannten Würfels der Seitenlänge $d=1$. Man nennt ein orthonormiertes räumliches Dreibein daher manchmal auch eine Würfelecke.
• In der Regel treten orthonormierte räumliche Dreibeine im euklidischen Anschauungsraum $\mathbb {R} ^{3}$ auf. Ist dort ${\mathcal {D}}$ ein solches, so bildet das zugehörige Vektorentripel $({\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3})$ eine Orthonormalbasis des $\mathbb {R} ^{3}$.
• Dreibeine treten nicht zuletzt in der Darstellenden Geometrie im Zusammenhang mit dem Fundamentalsatz der Axonometrie auf. Hier bezeichnet man ein durch Parallelprojektion entstandenes Abbild eines orthonormierten räumlichen Dreibeins als pohlkesches Dreibein.
• In der Differentialgeometrie trifft man ein Dreibein in der Regel als begleitendes Dreibein (englisch moving trihedron oder moving frame) einer Raumkurve an, insbesondere im Zusammenhang mit den Frenetschen Formeln. Begleitende Dreibeine entstehen, wenn man zu jedem Kurvenpunkt $c(s)\;(s\in [a,b])$ einer Raumkurve $c\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{3}$ das aus ihm selbst und dem anliegenden Tangenteneinheitsvektor $t(s)$, dem anliegenden Normaleneinheitsvektor $n(s)$ sowie den anliegenden Binormaleneinheitsvektor $b(s)$ das Quadrupel $(c(s),t(s),n(s),b(s))$ bildet. Dabei bildet das Vektorentripel $(t(s),n(s),b(s))$ stets ein Rechtssystem.
• In der Differentialgeometrie werden in Verallgemeinerung der begleitenden Dreibeine zu allgemeinen Raumkurven $c\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} ,n\geq 2)$ die begleitenden (Frenet-)n-Beine untersucht.

Abgrenzung

Die im Englischen für ein Dreibein benutzte Bezeichnung trihedron legt nahe, ein Dreibein mit einem Trieder gleichzusetzen, also mit einem von drei ebenen Flächen begrenzten Polyeder im $\mathbb {R} ^{3}$. In der deutschsprachigen mathematischen Fachliteratur ist diese Gleichsetzung nicht allgemein üblich. Folgt man etwa György Hajós und seiner Darstellung in der Einführung in die Geometrie, so ist ein Trieder eine spezielle unbeschränkte geometrische Figur des $\mathbb {R} ^{3}$. Hajós beschreibt diese als dreikantige konvexe Ecke bzw. als dreiseitige unendliche Pyramide oder kurz als Dreikant und meint damit die konvexe Hülle dreier von einem gemeinsamen Raumpunkt $O\in \mathbb {R} ^{3}$ ausgehender Strahlen, die außer $O$ keinen weiteren Raumpunkt gemeinsam haben. Als Beispiele für solche Trieder nennt er die Oktanten des $\mathbb {R} ^{3}$.

Literatur

• Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik. und angrenzender Gebiete. Band 1. A-E. Aulis Verlag Deubner, Köln 1976, ISBN 3-7614-0242-2. 
• Hermann Engesser (Bearbeiter): Der kleine Duden. Mathematik. 2. Auflage. Dudenverlag, Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich 1996, ISBN 3-411-05352-6. 
• W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt/Main 197, ISBN 3-87144-323-9. 
• György Hajós: Einführung in die Geometrie. BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1970 (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]). 
• Wilhelm Klingenberg: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie (= Heidelberger Taschenbücher. Band 107). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1973, ISBN 3-540-06253-X. 
• John McCleary: Geometry from a Differentiable Viewpoint. Cambridge University Press, Cambridge (u. a.) 2013, ISBN 978-0-521-13311-1. 
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder (Hrsg.): dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. Band 2: Analysis und angewandte Mathematik. 11. durchgesehene und korrigierte Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 2003, ISBN 3-423-03008-9. 

Siehe auch

• Artikel Moving frame in der englischsprachigen Wikipedia

Einzelnachweise

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KKKategorie:Geometrie]] KKKategorie:Mathematischer Grundbegriff]]

Satz des Apollonios (BKL) [statt Weiterleitung]

In der Mathematik sind mit dem Namen des antiken griechischen Mathematikers Apollonios von Perge verschiedene Resultate verbunden. Dazu zählen etwa:

• der Satz über den Kreis des Apollonios
• die beiden Sätze des Apollonios über konjugierte Durch- und Halbmesser von Ellipsen
• der Satz des Apollonios in der Dreiecksgeometrie sowie die zugehörige Apollonios-Gleichung

KK Begriffsklärung KK

Satz von Pohlke

Der Satz von Pohlke, auch Fundamentalsatz der Axonometrie oder Hauptsatz der Axonometrie genannt, ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Darstellenden Geometrie. Er geht auf den Karl Wilhelm Pohlke zurück und behandelt eine grundlegende Fragestellung der Axonometrie.

Formulierung des Satzes

Satz von Pohlke

Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:

(P) Jedes beliebige ebene Dreibein des euklidischen Raums $\mathbb {R} ^{3}$ , dessen Strecken nicht alle auf einer Geraden liegen, kann aufgefasst werden als das durch eine Parallelprojektion entstandene Abbild eines orthonormierten räumlichen Dreibeins.

Etwas allgemeiner ausgedrückt:

(P^') Drei in einer Ebene des $\mathbb {R} ^{3}$ von einem gegebenen Punkt ${\overline {O}}$ ausgehende Strecken beliebiger Länge und beliebiger Richtung können aufgefasst werden als Parallelprojektion von drei in einem weiteren gegebenen Punkt $O$ zusammenstoßenden Würfelkanten, sofern vorausgesetzt ist, dass höchstens drei der erstgenannten Punkte kollinear sind.

Ganz allgemein gilt sogar:

(PS) Sind im dreidimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ eine Ebene $E\subset \mathbb {R} ^{3}$ und zudem zwei Punkte $O\in \mathbb {R} ^{3}$ und ${\overline {O}}\in E$ gegeben und gehen von ersterem drei beliebige Strecken $S_{1},S_{2},S_{3}\subset \mathbb {R} ^{3}$ aus, die zwar $O$ als gemeinsamen Eckpunkt haben, jedoch in keiner gemeinsamen Ebene liegen,

während von letzterem drei weitere beliebige Strecken ${\overline {S_{1}}},{\overline {S_{2}}},{\overline {S_{3}}}\subset E$ ausgehen, die zwar ${\overline {O}}$ als gemeinsamen Eckpunkt haben, jedoch – obwohl in der Ebene $E$ liegend – nicht kollinear sind,

so gibt es stets

eine Ähnlichkeitsabbildung $\eta \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ sowie

eine Raumbewegung $\beta \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ und schließlich

eine Parallelprojektion $\phi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow E$ ,

so dass die verkettete Abbildung $\psi =\phi \circ \beta \circ \eta$ den Eckpunkt $O$ auf den anderen Eckpunkt ${\overline {O}}=\psi (O)$ und dabei $S_{k}$ auf ${\overline {S_{k}}}=\psi (S_{k})\;(k=1,2,3)$ abbildet.

Anmerkungen zur Historie des Satzes

Pohlke hat den Fundamentalsatz etwa 1853 gefunden. Sein ursprünglicher Beweis war außergewöhnlich kompliziert und blieb unveröffentlicht. Hermann Amandus Schwarz, der ein Schüler Pohlkes war, publizierte den ersten vollständigen Beweis im Jahre 1864 und lieferte hierbei auch die oben vorgetragene allgemeinere Darstellung (PS). Den Fundamentalsatz – und ihm gleichwertige Darstellungen – bezeichnen daher manche Autoren auch Satz von Pohlke und Schwarz (englisch Pohlke-Schwarz theorem).

Korollar

Aus dem Fundamentalsatz lässt sich das folgende Korollar gewinnen, welches hinsichtlich seiner Aussagekraft als diesem gleichwertig betrachtet werden kann:

(PS^') Jedes in einer Ebene $E\subset \mathbb {R} ^{3}$ liegende vollständige Viereck ${\mathcal {V}}\subset E$ kann aufgefasst werden als ein durch Parallelprojektion entstandenes Abbild eines Tetraeders ${\mathcal {T}}^{*}\subset \mathbb {R} ^{3}$, welches einem gegebenen Tetraeder ${\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ ähnlich ist.

Literatur

• P. S. Alexandroff, A. I. Markuschewitsch, A. J. Chintschin: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band IV. Geometrie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 10). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1969, S. 250–254. 
• Heinrich Brauner: Lehrbuch der konstruktiven Geometrie. Springer Verlag, Wien, New York 1969, ISBN 3-211-81833-2, S. 51, 85–86. 
• Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik. und angrenzender Gebiete. 5. Auflage. Band 3. L-R. Aulis Verlag Deubner, Köln 1977, ISBN 3-7614-0242-2, S. 775. 
• Wolfgang Haack: Darstellende Geometrie. Band III: Axonometrie und Perspektive (= Sammlung Göschen. Band 2132). 5. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin, New York 1980, ISBN 3-11-008271-3, S. 45 (MR0568703). 
• Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt/Main 1978, ISBN 3-87144-336-0, S. 50. 
• W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt/Main 197, ISBN 3-87144-323-9, S. 232. 
• Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds und Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9, S. 372–373 (MR1089881). 
• Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Volume 4: Monge-Ampere Equation - Rings and Algebras. An updated and annotated translation of the Soviet 'Mathematical Encyclopaedia'. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London 1995, ISBN 1-55608-010-7, S. 439. 
• K. Pohlke: Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Gaertner-Verlag, Berlin 1876 (Google Books.)
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder (Hrsg.): dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. Band 1: Grundlagen Algebra und Geometrie. 8. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1990, ISBN 3-423-03007-0, S. 177. 
• H. Schwarz: Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 63, 1864, S. 309–314 (MR1579271). 
• Roland Stärk: Darstellende Geometrie. Schöningh-Verlag, Paderborn 1978, ISBN 3-506-37443-5. 
• Eduard Stiefel: Lehrbuch der darstellenden Geometrie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften. Band 11). 3. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel (u. a.) 1971, ISBN 3-7643-0368-9, S. 137. 

Einzelnachweise und Notizen

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KKKategorie:Satz (Mathematik)|Pohlke]] KKKategorie:Darstellende Geometrie]]

Satz von Pilatte (?????) oder Pilatte-Satz

Der Satz von Pilatte ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Geometrie.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich zusammengefasst angeben wie folgt:

Gegeben ...

Einzelnachweise

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KKKategorie:Satz (Mathematik)|Pilatte]] KKKategorie:Darstellende Geometrie]]

Apollonios-Gleichung

Die Apollonios-Gleichung ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher sowohl dem mathematischen Teilgebiet der Geometrie als auch dem der Funktionalanalysis zugehört. Sie wird dem antiken griechischen Mathematiker Apollonios von Perge zugerechnet und behandelt eine grundlegende metrische Beziehung zwischen Seiten und Seitenhalbierenden von Dreiecken. Die Gleichung ist eng verwandt mit der pythagoreischen Gleichung. In der Elementargeometrie spricht man im Zusammenhang mit dieser Gleichung auch vom Satz von der Seitenhalbierenden oder vom Satz von Apollonios. Hier ergibt sich aus der Apollonios-Gleichung in direkter Folgerung ein bekannter Satz von Leonhard Euler.

Formulierung

Die Apollonios-Gleichung lässt sich formulieren wie folgt:

Für drei Punkte $x,y,z$ eines Innenproduktraums $V$, welcher mit der aus dem inneren Produkt dieses Raums herrührenden Norm ${\|\cdot \|}$ versehen ist, gilt stets:

(AG-1)     ${\tfrac {1}{2}}\|x-y\|^{2}+2\,\|z-{\tfrac {1}{2}}(x+y)\|^{2}=\|z-x\|^{2}+\|z-y\|^{2}$.

Erläuterungen, Anmerkungen und Folgerungen

• Die Apollonios-Gleichung ist eine direkte Folgerung aus der Parallelogrammgleichung, welche sich ihrerseits unmittelbar - nämlich für $z=0$ - aus der Apollonios-Gleichung ergibt.
• Ist hierbei $V$ die euklidische Ebene, versehen mit der euklidischen Norm, und liegt ein Dreieck $ABC$ vor, für welches – wie üblich - die Seitenlängen mit $a,b,c$ und die Länge der zum Punkte $C$ gehörigen Seitenhalbierenden mit $s_{c}$ benannt werden, so schreibt sich (AG-1) in der Form

(AG-2a)     ${\tfrac {1}{2}}c^{2}+2{s_{c}}^{2}=a^{2}+b^{2}$   ,

womit sich die bekannte (gleichwertige!) Formel

(AG-2b)     $s_{c}={\frac {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}{2}}$

ergibt.

• Bildet man die entsprechenden Formeln für die beiden anderen Dreiecksseiten und deren Seitenhalbierenden, so gewinnt man - nach Äquivalenzumformungen - die drei Gleichungen

(AG-3a)     ${s_{a}}^{2}-{s_{b}}^{2}={\frac {3}{4}}(b^{2}-a^{2})$

(AG-3b)     ${s_{b}}^{2}-{s_{c}}^{2}={\frac {3}{4}}(c^{2}-b^{2})$

(AG-3c)     ${s_{c}}^{2}-{s_{a}}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}-c^{2})$

• Es folgt daraus unmittelbar:

(AG-F1)     ${s_{a}}^{2}+{s_{b}}^{2}+{s_{c}}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

(AG-F2)     $s_{a}\geq s_{b}\geq s_{c}{\text{ wenn }}a\leq b\leq c$

(AG-F3)     Ist $ABC$ speziell ein rechtwinkliges Dreieck der euklidischen Ebene und $c$ die Länge der Hypotenuse, so gilt nach dem Satz des Thales $s_{c}={\tfrac {1}{2}}c$ und damit die pythagoreische Gleichung.

Siehe auch

• Satz von Apollonios (Dreieck)
• Satz des Pythagoras
• Satz von Euler (Vierecksgeometrie)

Literatur

• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht (= Studium). 4., überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-06730-4, doi:10.1007/978-3-658-06731-1. 
• Claudi Alsina - Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik. 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer Spektrum, Berlin - Heidelberg 2015, ISBN 978-3-662-45461-9. 
• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 12. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 1972. 
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0. 

Fußnoten und Einzelnachweise

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Satz von Dehn (Sehr unfertig)

Der Satz von Dehn ist ein Lehrsatz auf dem mathematischen Teilgebiet der Elementargeometrie, welches auf den Mathematiker Max Dehn zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, wie für geometrische Körper im euklidischen Raum Zerlegungsgleichheit und Volumensgleichheit zusammenhängen.

Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:

Im dreidimensionalen euklidischen Raum sind ein Würfel und ein Tetraeder gleichen Rauminhalts nicht zerlegungsgleich.

Quellen und Literatur

• W. G. Boltjanski: Zerlegungsgleichheit von Vielecken und Vielflachen. In: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Bd. V: Geometrie (Redaktion: Pawel S. Alexandrow, Alexei I. Markuschewitsch, Alexander J. Chintschin) (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 11). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1971. 

Einzelnachweise

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Winkel in der bernoullischen Lemniskate (Satz von Vechtmann)

Der Satz von Vechtmann ist ein Lehrsatz, der dem mathematischen Teilgebiet der Analytischen Geometrie zuzurechnen ist und der auf den Mathematiker Gerhard Christoph Hermann Vechtmann zurückgeht. Dem italienischen Mathematikhistoriker Gino Loria zufolge hat Vechtmann den Satz in seiner Dissertation im Jahre 1843 dargestellt. Der Satz formuliert - so Loria - eine sehr bemerkenswerte Beziehung zwischen gewissen Winkeln in der bernoullischen Lemniskate.

Formulierung des Satzes

Sie lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben sei in der euklidischen Ebene eine bernoullische Lemniskate ${\mathfrak {L}}$ mit den beiden definierenden Brennpunkten $F_{1}$ und $F_{2}$ und dem Zentrum $O$.

Weiter gegeben sei ein Punkt $P\in {\mathfrak {L}}$, der nicht auf der Verbindungsgeraden $g$ durch $F_{1}$ und $F_{2}$ gelegen sei.

Die Normale $n_{P}$ zu ${\mathfrak {L}}$ im Punkte $P$ schneide $g$ in dem Punkt $R$.

Dann gilt:

Der beim Punkt $R$ am Dreieck $POR$ anliegende Außenwinkel ist dreimal so groß wie der beim Zentrum $O$ gelegene Innenwinkel .

Anmerkungen

• Die genannte Winkelbeziehung ist nach dem Außenwinkelsatz gleichbedeutend damit, dass der zugehörige Innenwinkel beim Punkt $P$ doppelt so groß ist wie besagter Zentrumswinkel.
• Laut Gino Loria ist die Winkelbeziehung insofern bemerkenswert, als sie nicht nur eine leichte Konstruktionsmethode für die Normale in einem beliebigen Punkte der Lemniskate liefert (und daher auch für die Tangente), sondern auch beweist, daß das Problem der Dreiteilung des Winkels der Hauptsache nach identisch mit dem ist, an eine Lemniskate eine Normale bzw. eine Tangente von gegebener Richtung zu ziehen.

Beweis nach Loria

Der von Loria gegebene Beweis beruht wesentlich auf den beiden Gleichungen der Lemniskate und auf den Additionstheoremen für Vielfachwinkel von Sinus und Kosinus und geht wie folgt:

Es wird die Normalform der Lemniskate als gegeben angenommen, bei der die Gerade $g$ mit der Abszissenachse zusammenfällt und das Zentrum mit dem Koordinatenursprung.

Die definierende Gleichung von ${\mathfrak {L}}$ in kartesischen Koordinaten lässt sich dann schreiben als

(I) $(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=0$

und die in Polarkoordinaten in der Form

(II) $r^{2}=2a^{2}\cos(2\alpha )$

mit $\alpha$ als Polarwinkel und $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ als Abstand zum Koordinatenursprung.

Aus Symmetriegründen genügt es, den Satz für denjenigen Teil der Lemniskate, welcher im ersten Quadranten gelegen ist, also für $x\geq y>0$ und $r>0\;,\;0<\alpha <{\frac {\pi }{4}}$ zu zeigen, und es ist weiterhin ausreichend, den Nachweis der behaupteten Gleichung allein zu führen für $\alpha \neq {\frac {\pi }{6}}$   , also unter Ausschluss des dortigen Hochpunktes, bei dem die Tangente an die Lemniskate parallel und die zugehörige Normale senkrecht zur Abszissenachse verlaufen. Denn für diesen Ausnahmefall folgt die Gleichung dann aus Stetigkeitsgründen.

Es sei nun besagter Außenwinkel mit $\psi$ bezeichnet.

Indem man in Rechnung stellt, dass einerseits im ersten Quadranten besagter Zentrumswinkel und der Polarwinkel des Punktes bei der Darstellung in Polarkoordinaten zusammenfallen und dass andererseits die reelle Tangensfunktion im punktierten Intervall $]0\;,\;\pi [\setminus \{{\frac {\pi }{2}}\}$ injektiv ist, sieht man, dass allein die Gleichung

$\tan(\psi )=\tan(3\alpha )$

zu zeigen ist.

Der Beweis dieser Gleichung verläuft nun in mehreren Rechenschritten:

Zunächst erhält man vermöge impliziter Differentiation aus (I)

$(x^{2}+y^{2})(x+yy^{'})-a^{2}(x-yy^{'})=0$

und daraus

$y^{'}={\frac {a^{2}-(x^{2}+y^{2})}{a^{2}+(x^{2}+y^{2})}}\cdot {\frac {x}{y}}$   .

Nun ist

$\tan(\psi )=-{\frac {1}{y^{'}}}$

und wegen $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ und ${\frac {y}{x}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$ ergibt sich dann die Gleichung

$\tan(\psi )=-{\frac {a^{2}+r^{2}}{a^{2}-r^{2}}}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$   .

und wegen (II) weiter

$\tan(\psi )=-{\frac {a^{2}+2a^{2}\cos(2\alpha )}{a^{2}-2a^{2}\cos(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=-{\frac {1+2\cos(2\alpha )}{1-2\cos(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {1+2\cos(2\alpha )}{2\cos(2\alpha )-1}}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$   .

Da man zugleich $\cos(2\alpha )=1-2{\sin }^{2}(\alpha )=2{\cos }^{2}(\alpha )-1$ hat, folgt weiter

$\tan(\psi )={\frac {3-4{\sin }^{2}(\alpha )}{4{\cos }^{2}(\alpha )-3}}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {3\sin \alpha -4{\sin }^{3}(\alpha )}{4{\cos }^{3}(\alpha )-3\cos \alpha }}$   .

Schließlich ist dann wegen der erwähnten Vielfachwinkelgleichungen

$\tan(\psi )={\frac {\sin(3\alpha )}{\cos(3\alpha )}}=\tan(3\alpha )$

und alles ist gezeigt.

Literatur

• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung I (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 61). 3., unveränderte Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1968, S. 484–485 (MR0238635). 
• Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History (= Undergraduate Texts in Mathematics. Readings in Mathematics). Springer Verlag, Heidelberg / New York / Dordrecht / London 2012, ISBN 978-3-642-29162-3, S. 207–208, doi:10.1007/978-3-642-29163-0 (MR2918594 Google books.google.de). 
• Gino Loria: Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven: Theorie und Geschichte. Erster Band: Die algebraischen Kurven (= B. G. Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen. V,1). 2. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Leipzig / Berlin 1910. 
• G. C. H. Vechtmann: Diss. inaug. phil. de curvis lemniscatis. Göttingen 1843 (books.google.de). 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Dreispiegelungssatz

Der Dreispiegelungssatz ist ein mathematischer Lehrsatz der Geometrie, welcher sowohl der Elementargeometrie als auch Spiegelungsgeometrie angehört. Der Satz behandelt die wichtige Frage der Verkettung von Spiegelungen in der euklidischen Ebene.

Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:

In der euklidischen Ebene ist die Verkettung von drei Spiegelungen ihrerseits eine solche genau dann, wenn die drei Spiegelachsen im Büschel liegen; also dann und nur dann, wenn die drei beteiligten Geraden parallel sind oder einen gemeinsamen Schnittpunkt haben.

Ist die genannte Bedingung erfüllt, so gehört die Spiegelachse des Verkettungsprodukts demselben Büschel an, ist also den Achsen der drei gegebenen Spiegelungen parallel oder geht durch deren gemeinsamen Schnittpunkt.

Folgerung aus dem Dreispiegelungssatz

Der Dreispiegelungssatz zieht den folgenden Darstellungssatz nach sich:

In der euklidischen Ebene ist jede Kongruenzabbildung selbst eine Spiegelung oder kann als Verkettung von zwei oder drei Spiegelungen dargestellt werden.

Verkürzend sagt man auch:

Jede ebene Kongruenzabbildung ist eine Spiegelung oder eine Doppelspiegelung oder eine Dreifachspiegelung.

Damit sind für eine ebene Kongruenzabbildung allein die folgenden vier Fälle möglich:

Sie ist eine Spiegelung.

Sie ist eine Verschiebung, also eine Doppelspiegelung an parallelen Spiegelachsen.

Sie ist eine Drehung, also eine Doppelspiegelung an sich schneidenden Spiegelachsen.

Sie ist eine Schubspiegelung, also die Verkettung einer Spiegelung mit einer Verschiebung in Richtung der Spiegelachse.

Entsprechendes Ergebnis in der Raumgeometrie

Für Kongruenzabbildungen im dreidimensionalen euklidischen Raum gilt ein entsprechender Satz, der sogenannte Darstellungssatz für räumliche Bewegungen:

Eine räumliche Bewegung ist stets darstellbar als Verkettung von höchstens vier Ebenenspiegelungen. Besitzt eine räumliche Bewegung einen Fixpunkt, so reichen dazu bereits drei Ebenenspiegelungen aus.

Hier ist dann insbesondere die Entsprechung zum ebenen Dreispiegelungssatz gültig:

Sind die Spiegelebenen dreier Ebenenspiegelungen zueinander parallel oder gehen sie durch eine gemeinsame Gerade, so ist ihre Verkettung ebenfalls eine Ebenenspiegelung.

In diesem Zusammenhang fällt auch der folgende interessante Satz über räumliche Drehungen von Leonhard Euler aus dem Jahre 1776:

Haben die beiden Drehachsen zweier räumlicher Drehungen einen gemeinsamen Schnittpunkt, so ist die Verkettung beider ebenfalls eine Drehung und deren Drehachse geht ihrerseits durch diesen Schnittpunkt.

Quellen und Literatur

• Siegfried Krauter: Erlebnis Elementargeometrie. Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Spektrum Akademischer Verlag, München 2005, ISBN 3-8274-1644-2. 
• H. Lenz: Grundlagen der Elementarmathematik. 3., überarbeitete Auflage. Hanser Verlag, München (u. a.) 1976, ISBN 3-446-12160-9. 
• E. Quaisser: Bewegungen in der Ebene und im Raum. Band 3. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1983. 
• Harald Scheid: Elemente der Geometrie (= Mathematische Texte. Band 3). BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zürich 1991, ISBN 3-411-14931-0. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Satz von Monge (Elementargeometrie)

Der Satz von Monge ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, welcher auf den französischen Mathematiker Gaspard Monge zurückgeht. Der Satz behandelt eine Eigenschaft von Kreisen der euklidischen Ebene im Zusammenhang mit zentrischen Streckungen.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Für je drei Kreise der euklidischen Ebene mit verschiedenen Radien, welche man durch zentrische Streckung paarweise ineinander überführt, sind die drei äußeren Streckzentren stets auf einer Geraden gelegen.

Erläuterungen

1. In der euklidischen Ebene liegen zwei Kreis getrennt, wenn die zugehörigen Kreisscheiben disjunkt sind.
2. In der euklidischen Ebene erhält man das äußere Streckzentrum zweier getrennt liegender Kreisen mit unterschiedlichen Radien als Schnittpunkt der beiden äußeren Kreistangenten. Dieser Punkt liegt also nicht auf der Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkten.

Historische Anmerkung

1. Der Satz wurde von Jean-Baptiste le Rond d’Alembert behauptet und dann von Gaspard Monge bewiesen.

Literatur

• Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. 
• Johannes Kratz, Karl Wörle: Geometrie. II. Teil. Mit Trigonometrie (= Mathematik für Gymnasien). 4., überarbeitete Auflage. Bayerischer Schulbuchverlag, München 1968. 
• David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books, München 1991, ISBN 0-14-011813-6. 

Weblinks

• Satz von Monge in MathWorld

Einzelnachweise

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KKKategorie:Geometrie]]

Satz von Harriot (noch unfertig)

Der Satz von Harriot ist ein Lehrsatz der Sphärischen Geometrie, welcher auf den englischen Mathematiker Thomas Harriot zurückgeht. Der Satz beinhaltet die Formel des Flächeninhalts eines sphärisches Dreiecks auf der Einheitssphäre im dreidimensionalen euklidischen Raum.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben seien drei verschiedene Punkte der Einheitssphäre $S^{2}$, welche nicht auf einem einzigen Großkreis liegen, wobei das von ihnen gebildete Dreieck $\Delta \subset S^{2}$ mit den beträgt die ..

Gegeben seien drei verschiedene Punkte $A,B,C\in S^{2}$, welche nicht auf einem Großkreis der Einheitssphäre $S^{2}$ liegen, und das von ihnen gebildete des Der Flächeninhalt eines Dreiecks $\Delta \subset S^{2}$ mit den beträgt die ..

Anmerkungen

1. Der Satz beruht auf der Tatsache, dass ein sphärisches Zweieck
2. Der Satz beruht auf der Tatsache, dass ein sphärisches Zweieck

Literatur

• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht (= Studium). 4., überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-06730-4, doi:10.1007/978-3-658-06731-1. 

Einzelnachweise

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Fünfecksatz

Der Fünfecksatz, englisch Pentagon theorem, ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Analytischen Geometrie. Er behandelt eine Eigenschaft gewisser Fünfecke im $3$-dimensionalen euklidischen Raum.

Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:

Bilden fünf gleich lange Vektoren im $\mathbb {R} ^{3}$ ein geschlossenes Fünfeck derart, dass die von diesen Vektoren eingeschlossenen Winkel ebenfalls gleich sind, so sind sie komplanar.

In Kurzform:

Ein räumliches Fünfeck mit lauter gleich großen Winkeln und Seiten ist notwendigerweise ein ebenes geometrisches Gebilde.

Anmerkungen

1. Der im Fünfecksatz dargestellte Sachverhalt lässt sich weder auf Vierecke noch für Vielecke mit sechs oder mehr Eckpunkten übertragen: Hier findet man solche Vielecke mit lauter gleich großen Winkeln und Seiten, deren Eckpunkte dennoch nicht in einer Ebene liegen.
2. Ostermann und Wanner nennen den Satz auch als Fünfecksatz von van der Waerden (englisch van der Waerden’s pentagon theorem). Der erste strenge Beweis des Satzes soll jedoch nicht in der im Jahre 1970 von Bartel Leendert van der Waerden vorgelegten Arbeit (s. u.) gegeben worden sein, sondern schon im Jahre 1961 in einer russischen Fachzeitschrift, nachdem der Satz durch ein im Jahre 1957 von dem russischen Mathematiker Wladimir Igorewitsch Arnold gestelltes Problem nahegelegt worden war. Van der Waerden selbst wurde auf den Satz aufmerksam durch Gespräche mit dem britischen Chemiker Jack David Dunitz. Von Chemikern war die Gültigkeit des Fünfecksatzes nach Untersuchungen der Arsenverbindungen (AsCH₃)_n offenbar schon lange vermutet worden.
3. Einen kurzen elementaren Beweis des Satzes mittels Volumenberechnungen unter Benutzung der gramschen Determinante legte im Jahre 1972 der Mathematiker Stanislav Šmakal vor.
4. Voneinander unabhängig fanden die beiden Mathematiker Gerrit Bol und Harold Scott MacDonald Coxeter im Jahre 1970 einen eleganten Beweis des Fünfecksatzes, welcher auf dem von Leonhard Euler gegebenen Satz basiert, dass die orientierungserhaltenden orthogonalen Abbildungen des $3$-dimensionalen euklidischen Raum auf sich exakt den Raumdrehungen entsprechen.

Quellen und Literatur

• Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History (= Undergraduate Texts in Mathematics. Readings in Mathematics). Springer Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2012, ISBN 978-3-642-29162-3, S. 69, doi:10.1007/978-3-642-29163-0.  MR2918594
• S. Šmakal: Eine Bemerkung zu einem Satz über räumliche Fünfecke. In: Elemente der Mathematik. Band 27, 1972, S. 62–63.  MR0333916
• B. L. van der Waerden: Ein Satz über räumliche Fünfecke. In: Elemente der Mathematik. Band 25, 1970, S. 73–78.  MR0266026

Einzelnachweise und Fußnoten

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Satz von Euler (Dreiecksgeometrie - schon vorhanden)

Der Satz von Euler der Dreiecksgeometrie ist ein geometrischer Lehrsatz, der Identitäten zwischen den Abständen der einem Dreieck der euklidischen Ebene zugehörigen Kreismittelpunkte angibt.

Formulierung des Satzes

Der Satz lautet wie folgt:

Gegeben sei ein Dreieck   $ABC$   der euklidischen Ebene

und es seien mit

-   $M$   der Mittelpunkt des Umkreises und   $\rho$   der zugehörige Radius ,

-   $M_{I}$   der Mittelpunkt des Inkreises und   ${\rho }_{I}$   der zugehörige Radius ,

-   $M_{X}$   der Mittelpunkt des dem Eckpunkt   $X$   gegenüberliegenden Ankreises und   ${\rho }_{X}$   der zugehörige Radius   $(X=A,B,C)$  

bezeichnet.

Dann gelten die Gleichnungen:

$|{\overline {M\;M_{I}}}|={\sqrt {{\rho }^{2}-2\cdot \rho \cdot {\rho }_{I}}}$

$|{\overline {M\;M_{X}}}|^{2}={\sqrt {{\rho }^{2}+2\cdot \rho \cdot {\rho }_{X}}}$

Verwandtes Resultat zum Neun-Punkte-Kreis

Hinsichtlich des durch den Satz von Feuerbach gegebenen Neun-Punkte-Kreises gilt ein verwandtes Resultat:

Bezeichnet man mit

-   $M_{F}$   den Mittelpunkt des Neun-Punkte-Kreises und mit   ${\rho }_{F}$   den zugehörigen Radius,

so gilt:

$|{\overline {M_{F}\;M_{I}}}|={\rho }_{F}-{\rho }_{I}$

$|{\overline {M_{F}\;M_{X}}}|={\rho }_{F}+{\rho }_{X}\;(X=A,B,C)$

Quellen

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u.a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Satz von Apollonios

Der Satz von Apollonios (oder auch Satz des Apollonios) ist ein klassischer Lehrsatz der Analytischen Geometrie, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf den antiken griechischen Mathematiker Apollonios von Perge zurück und behandelt metrische Eigenschaften der konjugierten Durch- und Halbmessern der Ellipsen in der euklidischen Ebene.

Formulierung des Satzes

Der Satz besteht aus zwei Teilsätzen, die auch erster und zweiter Satz von Apollonios genannt werden und die folgendermaßen anzugeben sind:

Gegeben sei eine Ellipse $E$ der euklidischen Ebene mit Haupt- und Nebenachsen der Längen $2a,2b>0$.

Dann gilt:

Erster Satz von Apollonios: Für jedes Paar von konjugierten Durch- und Halbmessern der Ellipse $E$ ist die Quadratsumme der jeweiligen Längen stets gleich. Dabei gilt für ein Paar von konjugierten Halbmessern der Längen $d_{1},d_{2}>0$ stets ${d_{1}}^{2}+{d_{2}}^{2}=a^{2}+b^{2}$  .

Zweiter Satz von Apollonios: Für jedes Paar von konjugierten Halbmessern besitzt das von diesen innerhalb der Ellipse aufgespannte Dreieck $\Delta$ stets denselben Flächeninhalt $F_{\Delta }$, nämlich $F_{\Delta }={\frac {a\cdot b}{2}}$  .

Zur Herleitung

Sowohl der erste als auch der zweite Satz lassen sich schon mit Mitteln der Schulmathematik herleiten.

Dabei kann man für den ersten Satz o.B.d.A. davon ausgehen, dass die Ellipse $E$ als Teilmenge der reellen Koordinatenebene $\mathbb {R} ^{2}$ betrachtet werden kann, deren Mittelpunkt der Ursprung ${\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ ist, wobei   ${\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\cos(t)\\b\sin(t)\end{pmatrix}}\quad (0\leq t\leq 2\pi )$   als Parameterdarstellung ihres Randbogens zugrundegelegt wird.

Sind also   $P_{1}{\begin{pmatrix}a\cos(t_{1})\\b\sin(t_{1})\end{pmatrix}}$   und   $P_{2}{\begin{pmatrix}a\cos(t_{1}+{\frac {\pi }{2}})\\b\sin(t_{1}+{\frac {\pi }{2}})\end{pmatrix}}=P_{2}{\begin{pmatrix}-a\sin(t_{1})\\b\cos(t_{1})\end{pmatrix}}$   die Endpunkte eines Paars von konjugierten Halbmessern der Längen   $d_{1}$ und $d_{2}$   , so erhält man unmittelbar die folgende Gleichungskette:

${\begin{aligned}{d_{1}}^{2}+{d_{2}}^{2}&={\bigl (}a^{2}{\cos }^{2}(t_{1})+b^{2}{\sin }^{2}(t_{1}){\bigr )}+{\bigl (}a^{2}{\sin }^{2}(t_{1})+b^{2}{\cos }^{2}(t_{1}){\bigr )}\\&=a^{2}\cdot {\bigl (}{\cos }^{2}(t_{1})+{\sin }^{2}(t_{1}){\bigr )}+b^{2}\cdot {\bigl (}{\sin }^{2}(t_{1})+{\cos }^{2}(t_{1}){\bigr )}\\&=a^{2}\cdot 1+b^{2}\cdot 1\\&=a^{2}+b^{2}\\\end{aligned}}$

und damit den ersten Satz.

Dabei ist für den Hintergrund des zweiten apollonischen Satzes bedeutsam, dass man hier - wie dies etwa die Ellipsenachsenkonstruktion nach Rytz von Brugg‎ nahelegt - die Ellipse $E$ auch als kompaktes Flächenstück der reellen Koordinatenebene $\mathbb {R} ^{2}$ auffassen kann, die als senkrecht achsenaffines Bild der um den Ursprung gegebenen abgeschlossenen Kreisscheibe ${\overline {B}}_{a}^{2}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ vom Radius $a$ entsteht.

Die dabei herangezogene lineare Transformation  

$T\colon \,\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\{\frac {b}{a}}y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&{\frac {b}{a}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

ist ein Homöomorphismus der Koordinatenebene auf sich selbst.

Folglich erhält man unter Anwendung des Transformationssatzes für den Flächeninhalt eines jeden kompakten Flächenstücks $A\subseteq \mathbb {R} ^{2}$

$F_{T(A)}=\det {\begin{pmatrix}1&0\\0&{\frac {b}{a}}\\\end{pmatrix}}\cdot F_{A}={\frac {b}{a}}\cdot F_{A}$

und damit insbesondere

$F_{\Delta }={\frac {b}{a}}\cdot {\bigl (}{\frac {a^{2}}{2}}{\bigr )}={\frac {a\cdot b}{2}}$

sowie

$F_{\Pi }={\frac {b}{a}}\cdot {\bigl (}4\cdot a^{2}{\bigr )}=4\cdot a\cdot b$  .

Genauso beweist man, dass der Flächeninhalt der gesamten Ellipse

$F_{E}={\frac {b}{a}}\cdot {\bigl (}\pi \cdot a^{2}{\bigr )}=\pi \cdot a\cdot b$

beträgt.

Alternative Formulierungen

Im Bronstein wird der Satz des Apollonios auf andere Weise angegeben. Hier wird nämlich anstelle der Identitätsgleichung des obigen zweiten Satzes des Apollonios die folgende formuliert:

Sind in der Ellipse $E$ für ein Paar von konjugierten Halbmessern   $\alpha$ und $\beta$ die spitzen Winkel dieser beiden mit der Hauptachse, so gilt stets $d_{1}\cdot d_{2}\cdot \sin(\alpha +\beta )=a\cdot b$  .

In einer dritten Version tritt der zweite Satz des Apollonios in Band IV der Enzyklopädie der Elementarmathematik in Erscheinung. Diese lässt sich etwa wie folgt darstellen:

Wird der Ellipse $E$ zu einem Paar von konjugierten Durchmesser das zugehörige Parallelogramm $\Pi$ umbeschrieben, dessen Seiten paarweise parallel zu einem der beiden konjugierten Durchmesser sind, so hat $\Pi$ stets denselben Flächeninhalt $F_{\Pi }$, nämlich $F_{\Pi }=4\cdot a\cdot b$  .

Literatur

• P. S. Alexandroff, A. I. Markuschewitsch, A. J. Chintschin: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band IV. Geometrie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 10). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1969. 
• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev, G. Musiol, H. Mühlig (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. 7., vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9. 
• György Hajós: Einführung in die Geometrie (BEVEZETÉS A GEOMETRIÁBA). Deutsche Übersetzung und Redaktion: DR. G. EISENREICH (Leipzig). B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1970. 
• Hans Honsberg: Analytische Geometrie. Mit Anhang „Einführung in die Vektorrechnung“ (= Mathematik für Gymnasien). 3. Auflage. Bayerischer Schulbuch-Verlag, München 1971, ISBN 3-7627-0677-8. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Volumenformel des allgemeinen Tetraeders (Erweiterung)

Die Volumenformel des allgemeinen Tetraeders ist eine mathematische Formel der Stereometrie. Sie wurde von Leonhard Euler (1707–1793) in dessen berühmter Abhandlung E 231 (Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hederis planis inclusa sunt praedita.) angegeben.. Euler behandelt und löst unter Punkt 20 dieser Abhandlung das Problem, eine Formel für das Volumen des allgemeinen Tetraeders allein unter Bezug auf die Längen der sechs Tetraederkanten anzugeben. Der Volumenformel des allgemeinen Tetraeders liegt also die gleiche Aufgabenstellung zugrunde wie der zur Formel von Heron in der Dreiecksgeometrie.

Die Eulerformel

Gegeben sei ein Tetraeder ${\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}$, also eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche. Die zur dreieckigen Grundfläche gehörigen ${\mathcal {T}}$-Kanten seien mit $a,\,b,\,c$ bezeichnet und die im Raum gegenüberliegenden drei ${\mathcal {T}}$-Kanten mit $a^{'},\,b^{'},\,c^{'}$ .

Weiter sei für jede ${\mathcal {T}}$-Kanten $x$ die Länge dieser Kante mit $|x|$ bezeichnet.

Dann gilt für das Tetraedervolumen $V=V({\mathcal {T}})$:

$V={\tfrac {1}{12}}\cdot {\sqrt {|a|^{2}\cdot |a^{'}|^{2}\cdot f_{a}+|b|^{2}\cdot |b^{'}|^{2}\cdot f_{b}+|c|^{2}\cdot |c^{'}|^{2}\cdot f_{c}-\delta }}$

mit

$f_{a}=|b|^{2}+|b^{'}|^{2}+|c|^{2}+|c^{'}|^{2}-|a|^{2}-|a^{'}|^{2}$

$f_{b}=|a|^{2}+|a^{'}|^{2}+|c|^{2}+|c^{'}|^{2}-|b|^{2}-|b^{'}|^{2}$

$f_{c}=|a|^{2}+|a^{'}|^{2}+|b|^{2}+|b^{'}|^{2}-|c|^{2}-|c^{'}|^{2}$

$\delta =|a|^{2}\cdot |b|^{2}\cdot |c|^{2}+|a|^{2}\cdot |b^{'}|^{2}\cdot |c^{'}|^{2}+|a^{'}|^{2}\cdot |b|^{2}\cdot |c^{'}|^{2}+|a^{'}|^{2}\cdot |b^{'}|^{2}\cdot |c|^{2}$

Vereinfachte Eulerformel bei Gleichschenkligkeit und Regularität

Für gleichschenkliges Tetraeder gilt $|x|=|x^{'}|$ bei jeder der sechs ${\mathcal {T}}$-Kanten $x$. Hier vereinfacht sich die Eulerformel wie folgt:

$V={\tfrac {\sqrt {2}}{12}}\cdot {\sqrt {(|b|^{2}+|c|^{2}-|a|^{2})\cdot (|a|^{2}+|c|^{2}-|b|^{2})\cdot (|a|^{2}+|b|^{2}-|c|^{2})}}$   .

Hieraus ergibt sich unmittelbar die bekannte Volumenformel für das reguläre Tetraeder:

$V={\tfrac {\sqrt {2}}{12}}\cdot |a|^{3}$   .

Determinantendarstellung

Zur Darstellung des Tetraedervolumens $V=V({\mathcal {T}})$ lassen sich in eleganter Weise auch die folgenden Identitäten benutzen, welche auf Determinanten symmetrischer Matrizen beruhen:

${\begin{aligned}288\cdot V^{2}&=\det {\begin{pmatrix}0&|c|^{2}&|b|^{2}&|a^{'}|^{2}&1\\|c|^{2}&0&|a|^{2}&|b^{'}|^{2}&1\\|b|^{2}&|a|^{2}&0&|c^{'}|^{2}&1\\|a^{'}|^{2}&|b^{'}|^{2}&|c^{'}|^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\\\end{pmatrix}}\\&=\det {\begin{pmatrix}2|c|^{2}&|c|^{2}+|b|^{2}-|a|^{2}&|c|^{2}+|a^{'}|^{2}-|b^{'}|^{2}\\|c|^{2}+|b|^{2}-|a|^{2}&2|b|^{2}&|b|^{2}+|a^{'}|^{2}-|c^{'}|^{2}\\|c|^{2}+|a^{'}|^{2}-|b^{'}|^{2}&|b|^{2}+|a^{'}|^{2}-|c^{'}|^{2}&2|a^{'}|^{2}\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$

Die dabei zuerst auftretende Determinante nennt man (nach den beiden Mathematikern Arthur Cayley und Karl Menger) auch eine Cayley–Menger-Determinante.

Anwendung der Cayley–Menger-Determinante

Die Cayley–Menger-Determinantendarstellung des Tetraedervolumens kann herangezogen werden, um einen klassischen Lehrsatz von Leonhard Euler zu formulieren, nämlich den sogenannten Vierpunktesatz von Euler :

Vier (nicht notwendig voneinander verschiedene) Raumpunkte $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ liegen genau dann in einer Ebene, wenn die Beziehung

$\det {\begin{pmatrix}0&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}&a_{14}^{2}&1\\a_{12}^{2}&0&a_{23}^{2}&a_{24}^{2}&1\\a_{13}^{2}&a_{23}^{2}&0&a_{34}^{2}&1\\a_{14}^{2}&a_{24}^{2}&a_{34}^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\\\end{pmatrix}}=0$

gilt, wobei $a_{ij}=a_{ji}\;(i,j=1,2,3,4)$ jeweils den euklidischen Abstand der Punkte $P_{i}$ und $P_{j}$ bezeichnet.

Die Aussage des eulerschen Vierpunktesatzes ist demnach die folgende:

Vier Raumpunkte liegen genau dann in einer Ebene, wenn das von ihnen gebildete Tetraeder ${\mathcal {T}}={\mathcal {T}}(P_{1},P_{2},P_{3},P_{4})\subset \mathbb {R} ^{3}$ ausgeartet ist und damit das Volumen $V({\mathcal {T}})=0$ hat.

Literatur

Originalarbeiten

• Leonhard Euler: Demonstratio nonnullarum insignium proprietatum quibus solida hederis planis inclusa sunt praedita. In: Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. Band 4, März 1752, S. 140–160. 

Monographien

• Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, Bronx, NY 1964, OCLC 1597161. 
• György Hajós: Einführung in die Geometrie (BEVEZETÉS A GEOMETRIÁBA). Deutsche Übersetzung und Redaktion: DR. G. EISENREICH (Leipzig). B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1970. 
• Maximilian Miller: Stereometrie (SAMMLUNG CRANTZ). B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1957. 
• Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History (= Undergraduate Texts in Mathematics. Readings in Mathematics). Springer Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2012, ISBN 978-3-642-29162-3, doi:10.1007/978-3-642-29163-0.  MR2918594
• Andreas Speiser et al. (Redaktion): Leonhardi Euleri Opera omnia. Series prima. Opera mathematica. Volumen XXVI: Commentationes geometricae. Volumen I. Orell Füssli, Zürich 1953. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Monge-Punkt

Der Monge-Punkt ist ein Gegenstand der Raumgeometrie. Er ist nach dem französischen Mathematiker Gaspard Monge benannt, welcher diesen ausgezeichneten Punkt des allgemeinen Tetraeders als erster beschrieben und durch den im Folgenden dargestellten Satz von Monge charakterisiert hat.

Satz und Definition

Gegeben sei ein Tetraeder ${\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ mit Kanten $a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f$. Für jede ${\mathcal {T}}$-Kante $x$ sei $M(x)$ der jeweilige Mittelpunkt und $x^{'}$ die $x$ gegenüberliegende ${\mathcal {T}}$-Kante. Durch $M(x)$ liegt jeweils genau eine Ebene ${\mathcal {E}}(x)\subset \mathbb {R} ^{3}$ derart, dass ${\mathcal {E}}(x)$ und $x^{'}$ exakt senkrecht zueinander sind.

Dafür gilt:

Der Durchschnitt $\textstyle \bigcap _{x=a,b,c,d,e,f}{{\mathcal {E}}(x)}$ besteht aus genau einem Punkt $M({\mathcal {T}})\in {\mathcal {T}}$.

Dieser eindeutig bestimmte Punkt $M({\mathcal {T}})\in {\mathcal {T}}$ ist der Monge-Punkt von ${\mathcal {T}}$.

Die oben beschriebenen Ebenen ${\mathcal {E}}(x)\subset \mathbb {R} ^{3}$   ${(x=a,b,c,d,e,f)}$ werden auch als Monge-Ebenen (engl. Monge planes) bezeichnet. Mit diesen lässt sich der Satz von Monge in aller Kürze wie folgt wiedergeben:

In einem Tetraeder ${\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ schneiden sich die Monge-Ebenen in einem Punkt, nämlich im Monge-Punkt $M({\mathcal {T}})\in {\mathcal {T}}$.

Der Satz von Mannheim

Zur Charakterisierung des Monge-Punkts lässt sich auch der folgende Satz heranziehen, welcher auf den französischen Mathematiker Amédée Mannheim zurückgeht:

Legt man in dem Tetraeder ${\mathcal {T}}$ durch jede der vier Höhen sowie den Höhenschnittpunkt des jeweils zugehörigen senkrecht stehenden Seitendreiecks die (damit eindeutig bestimmte) Ebene, so haben die auf diese Weise gegebenen vier Ebenen den Monge-Punkt $M({\mathcal {T}})$ als Schnittpunkt.

Lage auf der Eulerschen Geraden

Im allgemeinen Tetraeder ${\mathcal {T}}$ ist die Eulersche Gerade (engl. Euler line) diejenige Gerade $e({\mathcal {T}})\subset \mathbb {R} ^{3}$ , welche den Schwerpunkt $S({\mathcal {T}})$ von ${\mathcal {T}}$ und den Mittelpunkt $Z({\mathcal {T}})$ der Umkugel von ${\mathcal {T}}$ verbindet. Der Monge-Punkt $M({\mathcal {T}})$ erweist sich als derjenige ausgezeichnete Punkt des allgemeinen Tetraeders ${\mathcal {T}}$ , welcher in Bezug auf $S({\mathcal {T}})$ spiegelbildlich zum Punkte $Z({\mathcal {T}})$ auf der Geraden $e({\mathcal {T}})$ liegt . Anders gesagt: Der Monge-Pungt $M({\mathcal {T}})$ liegt im allgemeinen Tetraeder ${\mathcal {T}}$ auf der Geraden $e({\mathcal {T}})$ jenseits von $S({\mathcal {T}})$ derart, dass $S({\mathcal {T}})$ der Mittelpunkt der Strecke ${\overline {{M({\mathcal {T}})}{Z({\mathcal {T}})}}}$ ist.

Literatur

Artikel

• H. F. Thompson: A Geometrical Proof of a Theorem connected with the Tetrahedron. In: Proc. Edinb. Math. Soc. (Series I). Vol. 27, 1908, S. 51–53 (englisch). 

Monographien

• Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, Bronx, NY 1964, OCLC 1597161. 
• Howard Eves: An Introduction to the History of Mathematics. 5. Auflage. Saunders College Publishing, Philadelphia [u.a.] 1983, ISBN 0-03-062064-3. 
• Heinrich Schröter: Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung als Erzeugnisse projektivischer Gebilde. Teubner, Leipzig 1880. 

Einzelnachweise

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Brunn-Minkowski-Ungleichung

Die Brunn-Minkowski-Ungleichung bzw. der Satz von Brunn und Minkowski, benannt nach den beiden Mathematikern Hermann Brunn und Hermann Minkowski, ist ein klassischer Lehrsatz auf dem mathematischen Teilgebiet der Konvexgeometrie. Die Ungleichung setzt das Lebesgue-Maß der Minkowski-Summe zweier kompakter Teilmengen des n-dimensionalen euklidischen Raums in Relation zum Lebesgue-Maß dieser beiden Teilmengen. Sie hat zahlreiche Anwendungen und zieht insbesondere die isoperimetrische Ungleichung nach sich.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung besagt zusammengefasst Folgendes:

(1) Bildet man im $\mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ mit dem Lebesgue-Maß $\lambda _{n}$ für zwei nichtleere kompakte Teilmengen $A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

die Menge aller aus zwei Elementen von $A$ bzw. $B$ bildbaren Summen,

so gilt für die dadurch gegebene Minkowski-Summe

$A+B=\{a+b\;\colon \;a\in A\;,\;b\in B\}$

die Ungleichung

${\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(A+B)}}\geq {\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(A)}}+{\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(B)}}$  .

(2) Sind darüber hinaus $A$ und $B$ sogar konvexe Körper,

so gilt für jede reelle Zahl $t$ mit $0\leq t\leq 1$ die Ungleichung

${\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(tA+(1-t)B)}}\geq t{\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(A)}}+(1-t){\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(B)}}$  .

Erläuterungen und Anmerkungen

(a) Für zwei nichtleere kompakte Teilmengen $A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist auch die Minkowski-Summe $A+B$ stets eine kompakte Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ und insbesondere Lebesgue-messbar.

(b) Für eine nichtleere kompakten Teilmenge $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und eine beliebige reelle Zahl $t$ ist die Menge $tA=\{ta\;\colon \;a\in A\}$ der mit $t$ multiplizierten Elemente von $A$ ebenfalls stets eine kompakte Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ und insbesondere Lebesgue-messbar.

(c) Sieht man bei (1) von der Kompaktheit der beiden Teilmengen $A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ab und setzt lediglich voraus, dass beide Lebesgue-messbar sein mögen, so ist im Allgemeinen nicht einmal gewährleistet, dass ihre Minkowski-Summe $A+B$ eine Lebesgue-messbare Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ darstellt. Allerdings gilt, wenn man statt des Lebesgue-Maßes $\lambda _{n}$ das äußere Lebesgue-Maß ${\lambda _{n}}^{*}$ zugrundelegt, die obige Ungleichung (1) in entsprechender Weise. Es gilt sogar für beliebige nichtleere Teilmengen $A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ immer die Ungleichung ${\sqrt[{n}]{{\lambda _{n}}^{*}(A+B)}}\geq {\sqrt[{n}]{{\lambda _{n}}^{*}(A)}}+{\sqrt[{n}]{{\lambda _{n}}^{*}(B)}}$   .

Quellen und Hintergrundliteratur

• Yu. D. Burago - V. A. Zalgaller: Geometric Inequalities (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 285). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1988, ISBN 3-540-13615-0.  MR0936419
• Herbert Federer: Geometric Measure Theory (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 153). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1969.  MR0257325

• R. J. Gardner: The Brunn-Minkowski inequality. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). Band 39, 2002, S. 355–405 ([4]).  MR1898210
• H. Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 93). Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1957.  MR0102775
• Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1980, ISBN 3-540-09071-1. 
• Boris Makarov, Anatolij Podkorytov: Real Analysis:. Measures, Integrals and Applications (= Universitext). Springer-Verlag, London (u. a.) 2013, ISBN 978-1-4471-5121-0.  MR3089088
• Vitali D. Milman, Gideon Schechtman: Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces (= Lecture Notes in Mathematics. Band 1200). Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1986, ISBN 3-540-16769-2.  MR0856576
• Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen (= BI-Hochschultaschenbücher. 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968.  MR0226495

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Geometrie]] KKKategorie:Ungleichung|Brunn-Minkowski, Ungleichung von]]

Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader (für Beweisarchiv)

Gegeben sei ein Quader mit den Seitenlängen   $x,y,z>0$   .

In diesem Quader werden die Diagonalen von drei an einer gewissen Ecke - etwa   $D$   - zusammenstoßenden Seitenrechtecken in einem zusammenhängenden Streckenzug so verbunden, dass die davon umfassten Punkte ein Dreieck   $\triangle =\triangle {ABC}$   bilden , das ganz in dem Quader enthalten ist, dessen Ecken   $A,B,C$   zugleich Ecken des Quaders sind und welches der Ecke   $D$   derart gegenüberliegt, dass die so entstehende geometrische Figur   ${ABCD}$   eine Pyramide darstellt.

Dieses Dreieck   $\triangle$   soll im Folgenden kurz als Diagonalendreieck bezeichnet werden.

Es ist nun die Aufgabe, eine Formel für den Flächeninhalt   $F_{\triangle }$   dieses Diagonalendreiecks   $\triangle$   in Anhängigkeit von den Seitenlängen $x,y,z$ zu bestimmen.

Diese Formel lässt sich bestimmen unter Benutzung der Formel des Heron und aufgrund der Tatsache, dass die Seitenlängen von   $\triangle$   nach dem Satz des Pythagoras offenbar wie folgt von den Seitenlängen $x,y,z$ abhängen:

$a={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$b={\sqrt {x^{2}+z^{2}}}$

$c={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}$

Also hat man zusammen mit der Identität

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

zunächst

${\begin{aligned}16{F_{\triangle }}^{2}&=16s(s-a)(s-b)(s-c)\\&=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)\\&=((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})\\&=a^{2}((b-c)^{2}+(b+c)^{2})-a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}\\&=2a^{2}(b^{2}+c^{2})-a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}\\\end{aligned}}$   .

Durch Einsetzen ergibt sich dann

${\begin{aligned}16{F_{\triangle }}^{2}&=2(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}+2z^{2})-(x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{2}-y^{2})^{2}\\&=2(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}+2z^{2})-(2x^{4}+2y^{4})\\\end{aligned}}$

und weiter

${\begin{aligned}8{F_{\triangle }}^{2}&=(x^{2}+y^{2})((x^{2}+y^{2})+2z^{2})-x^{4}-y^{4}\\&=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}+2z^{2}(x^{2}+y^{2})-x^{4}-y^{4}\\&=2x^{2}y^{2}+2x^{2}z^{2}+2y^{2}z^{2}\\\end{aligned}}$   .

Also folgt schließlich

${\begin{aligned}F_{\triangle }&={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}}}\\&={\frac {xyz}{2}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{y^{2}}}+{\frac {1}{z^{2}}}}}\end{aligned}}$   .

q.e.d

Verbesserung zu: Strecke (Geometrie)

Inzidenzgeometrie

Geradenaxiome

Wesentliche Charakteristika des aus der euklidischen Geometrie stammenden Konzept einer Strecke können in einem sehr allgemeinen Rahmen formuliert werden, der es erlaubt, dieses Konzept in abstrakten Inzidenzgeometrien ganz unabhängig von topologischen oder metrischen Erwägungen darzustellen. Dies wurde u. a. von Ernst Kunz in seinem Lehrbuch Ebene Geometrie gezeigt. Dabei wird eine Inzidenzgeometrie $({\mathfrak {E}},G)$ zugrundegelegt, welche aus einer Punktmenge ${\mathfrak {E}}$ sowie einer Geradenmenge $G\subseteq 2^{\mathfrak {E}}$ besteht und welche dabei den folgenden Bedingungen genügt:

(A1) Je zwei Punkte werden durch mindestens eine Gerade verbunden.

(A2) Zu je zwei verschiedenen Punkten gibt es höchstens eine Gerade, welche beide verbindet.

(A3) Auf jeder Geraden liegen mindestens zwei verschiedene Punkte.

(A4) Es gibt mindestens drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen.

Die beiden Bedingungen (A1) und (A2), bedeuten, dass die Inzidenzgeometrie das Verbindungsaxiom erfüllt, während (A3) und (A4) gewährleisten, dass sie gewissen Reichhaltigkeitsanforderungen genügt.

Eine Inzidenzgeometrie $({\mathfrak {E}},G)$, welche diese vier Bedingungen erfüllt, nennt Kunz kurz eine Ebene.

Streckenaxiome

In einer in diesem Sinne verstandenen Ebene $({\mathfrak {E}},G)$ lässt sich das Konzept einer Strecke durch folgende Streckenaxiome erfassen:

(B0) Je zwei (nicht notwendig) verschiedenen Punkten $A,B\in {\mathfrak {E}}$ ist eine Teilmenge $[AB]\subseteq {\mathfrak {E}}$ zugeordnet, welche die Strecke von $A$ nach $B$ genannt wird.

(B1) Es ist $A\in [AB]$ für jede Strecke $[AB]$.

(B2) Ist $g$ eine Gerade und sind $A,B\in g$, so ist $[AB]\subseteq g$ .

(B3) Für alle $A,B\in {\mathfrak {E}}$ ist stets $[AB]=[BA]$.

(B4) Für alle $A,B\in {\mathfrak {E}}$ existiert ein $C\in {\mathfrak {E}}$ mit $C\neq B$ und $B\in [AC]$.

(B5) Ist $C\in [AB]$ und $C\neq B$, so ist $B\notin [AC]$ .

(B6) Sind $A_{1},A_{2},A_{3}\in {\mathfrak {E}}$ drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, und ist $g\in G$ eine Gerade, die keinen der drei Punkte enthält, so folgt aus $g\cap [A_{1}A_{2}]\neq \emptyset$, dass $g\cap [A_{2}A_{3}]\neq \emptyset$ oder $g\cap [A_{1}A_{3}]\neq \emptyset$ ist.

Eine Ebene, welche auch den Bedingungen (B0) bis (B6) genügt, nennt Ernst Kunz eine Ebene mit Strecken. Die Plausibilität dieser Bedingungen macht man sich leicht klar, wenn man als $({\mathfrak {E}},G)$ die euklidische Ebene zugrundelegt. Hier sind all diese Bedingungen erfüllt.

Die Bedingung (B6) wird von Kunz gemäß den Gegebenheiten in der euklidischen Ebene das Axiom von Pasch genannt. Dort besagt es anschaulich, dass eine Gerade, welche in ein Dreieck „eindringt“ , diese auch wieder irgendwo verlassen muss. Der Name der Axioms verweist dabei auf den Mathematiker Moritz Pasch (1843–1930), welcher als erster erkannt hat, dass sich im Rahmen einer axiomatischen Grundlegung der euklidischen Geometrie der in dem Axiom dargestellte Sachverhalt nicht aus den übrigen Axiomen folgern lässt, sondern eigens gefordert werden muss.

Wie sich zeigen lässt, ist das System der Streckenaxiome mit dem der hilbertschen Anordnungsaxiome - die Inzidenzaxiome vorausgesetzt - gleichwertig. Die Verbindung zur Zwischenrelation ergibt sich dabei durch die folgende Festlegung:

Sind $P,X,Y$ drei paarweise verschiedene Punkte, so liegt der Punkt $P$ zwischen den Punkten $X$ und $Y$, wenn $P\in [XY]$ gilt.

Ist die genannte Bedingung für drei paarweise verschiedene Punkte $P,X,Y$ erfüllt, so sagt man auch:

Der Punkt $P$ ist innerer Punkt der Strecke $[XY]$.

Literatur

• Ernst Kunz: Ebene Geometrie. Axiomatische Begründung der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie (= Mathematik Grundkurs). rororo - Vieweg, Reinbek bei Hamburg 1976, ISBN 3-499-27026-9, S. 7 ff. 

Einzelnachweise

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Satz von Leibniz

Der Satz von Leibniz ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher innerhalb der ebenen Geometrie angesiedelt ist und Gottfried Wilhelm Leibniz zugerechnet wird. Er gibt eine allgemeine Formel an, welche insbesondere erlaubt, in der euklidischen Ebene für einen gegebenen Punkt und ein gegebenes Dreieck die Abstände des Punktes von den Eckpunkten in Beziehung zu setzen zu den Abständen der Eckpunkte vom Schwerpunkt.

Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:

In der reellen Koordinatenebene ${\mathbb {R} }^{2}$ seien vier Punkte $A,B,C,P$ gegeben.

Dabei habe der Punkt $P$ in Bezug auf die Punkte $A,B,C$ die affine Darstellung

$P=\alpha A+\beta B+\gamma C$ mit $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} \;,\;\alpha +\beta +\gamma =1$   .

Es sei $X$ ein weiterer beliebiger Punkt der reellen Koordinatenebene.

Dann gilt die Identität  :

(1) $\alpha \cdot |A-X|^{2}+\beta \cdot |B-X|^{2}+\gamma \cdot |C-X|^{2}-|P-X|^{2}=\alpha \cdot |A-P|^{2}+\beta \cdot |B-P|^{2}+\gamma \cdot |C-P|^{2}$

Ist insbesondere $P$ der Schwerpunkt des von den Punkten $A,B,C$ gebildeten Dreiecks $\Delta =\Delta _{ABC}$, ist also $P=S=S_{\Delta }$ mit $\alpha =\beta =\gamma ={\frac {1}{3}}$, so gilt sogar

(2) $|A-X|^{2}+|B-X|^{2}+|C-X|^{2}=3\cdot |S-X|^{2}+|A-S|^{2}+|B-S|^{2}+|C-S|^{2}$   .

Hinweis zur Herleitung des Satzes

Der Satz gestattet eine einfache rein rechnerische Herleitung unter Benutzung des reellen Skalarprodukts, indem mehrfach die binomische Identitätsgleichung

$|X-Y|^{2}=|X|^{2}-2\cdot \langle X\;,\;Y\rangle +|Y|^{2}\;\;(X,Y\in {\mathbb {R} }^{n},\;n\in \mathbb {N} )$

angewandt wird.

Folgerung

Der obige zweite Teil des leibnizschen Satzes zieht unmittelbar die folgende Charakterisierung des Schwerpunkts eines Dreiecks nach sich, welche dem italienischen Mathematiker Giulio Carlo Fagnano zugerechnet und unter dem Stichwort Fagnanoscher Schwerpunktsatz genannt wird:

Der Schwerpunkt eines Dreiecks $\Delta =\Delta _{ABC}$ ist derjenige Punkt $X_{0}$ der Ebene, in welchem die Summe der Quadrate der Abstände zu den drei Eckpunkten

$|A-X_{0}|^{2}+|B-X_{0}|^{2}+|C-X_{0}|^{2}$

den kleinsten Wert annimmt.

Anmerkung

In Heinrich Dörries Mathematischen Miniaturen wird ein analoge Gleichung über den Schwerpunkt eines Tetraeders formuliert. Im dortigen Register werden die beiden Gleichungen von Dörrie als Leibniz' Schwerpunktsätze bezeichnet.

Quellen

• Heinrich Dörrie: Mathematische Miniaturen. Zweiter unveränderter Nachdruck der Ausgabe von 1943. Sändig (u.a.), Wiesbaden 1979, ISBN 3-500-21150-X. 
• Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds und Karl-Heinz Schlote (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. Verlag Harri Deutsch, Thun 1990, ISBN 3-8171-1164-9, S. 262.  MR1089881
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u.a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Geometrie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Leibniz, Satz von (Euklidische Geometrie)]]

Verbindungsgerade

Eine Verbindungsgerade ist in der Mathematik eine Gerade, die durch zwei vorgegebene Punkte verläuft. Verbindungsgeraden werden speziell in der euklidischen Geometrie und allgemeiner in Inzidenzgeometrien betrachtet. Die Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden zu zwei verschiedenen gegebenen Punkten wird in der Geometrie axiomatisch als Verbindungsaxiom gefordert.

Euklidische Geometrie

....

Inzidenzgeometrie

Definition

Ist allgemein $({\mathfrak {P}},G,I)$ ein Inzidenzraum und sind $P_{1},\,P_{2}\in {\mathfrak {P}}$ zwei verschiedene Punkte in diesem Raum, dann heißt eine Gerade $g\in G$ Verbindungsgerade dieser beiden Punkte, wenn folgende zwei Bedingungen gelten:

(V1) $P_{1}Ig\land P_{2}Ig$

(V2) $\operatorname {card} (\{h\in G\colon P_{1}Ih\land P_{2}Ih\})\leq 1$

Notation und Sprechweisen

Werden von den beiden Punkten und der Geraden die Bedingungen (V1) und (V2) erfüllt, so schreibt man oft

$g=\langle P_{1},P_{2}\rangle$

oder

$g=P_{1}\vee P_{2}$

oder auch kurz

$g=P_{1}P_{2}$.

In dem hierzu üblichen Sprachgebrauch sagt man dann auch

• $g$ verbindet die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$.
• $g$ gehört mit den Punkten $P_{1}$ und $P_{2}$ zusammen.
• Die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ liegen auf $g$.
• $g$ geht durch die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$.
• Die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ inzidieren mit $g$.
• $g$ inzidiert mit den Punkten $P_{1}$ und $P_{2}$.

oder Ähnliches.

Unter Benutzung dieses Sprachgebrauchs lassen sich die obigen Bedingungen (V1) und (V2) so in Worte fassen:

(V1') Die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ werden durch die Gerade $g$ verbunden.

(V2') Für die Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$ gibt es höchstens eine Gerade, die sie verbindet.

Verbindungsaxiom

In den für die Geometrie besonders wichtigen Inzidenzräumen, also insbesondere in den euklidischen Räumen, in allen affinen Räumen und in allen projektiven Räumen gilt in Bezug auf Punkte und Verbindungsgeraden durchgängig die folgende grundlegende Bedingung (V):

(V) Zu je zwei verschiedenen Punkten des gegebenen Inzidenzraums existiert stets eine Verbindungsgerade, also eine Gerade derart, dass (V1) und (V2) erfüllt sind.

Man nennt diese Bedingung das Verbindungsaxiom.

In anderer Formulierung lässt sich das Verbindungsaxiom auch wie folgt aussprechen:

(V') Zu je zwei verschiedenen Punkten des gegebenen Inzidenzraums gibt es genau eine Gerade, die diese beiden Punkte verbindet.

Teilräume und Hüllensystem

Den in der Hauptsache in der Geometrie behandelten Inzidenzräumen – wie etwa den affinen und den projektiven Räumen, aber auch vielen anderen linearen Räumen wie z. B. den Blockplänen – ist gemeinsam, dass die Inzidenzrelation von der Elementrelation herrührt und somit die Geraden $g$ Teilmengen der zugehörigen Punktmenge ${\mathfrak {P}}$ sind.

Es ist also dann die Geradenmenge eine Teilmenge der Potenzmenge von ${\mathfrak {P}}$, folglich die Beziehung $G\subseteq 2^{\mathfrak {P}}$ gegeben. In diesem Falle beschreibt man den Inzidenzraum $({\mathfrak {P}},G,I)$ kurz in der Form $({\mathfrak {P}},G)$ anstatt in der Form $({\mathfrak {P}},G,{\in })$.

Unter diesen Gegebenheiten nennt man eine Teilmenge ${\mathfrak {T}}\subseteq {\mathfrak {P}}$ einen Teilraum von $({\mathfrak {P}},G)$, wenn mit je zwei verschiedenen Punkten $P_{1},P_{2}\in {\mathfrak {T}}$ stets ihre Verbindungsgerade $\langle P_{1},P_{2}\rangle$ in ${\mathfrak {T}}$ enthalten ist, also hierfür stets $\langle P_{1},P_{2}\rangle \subseteq {\mathfrak {T}}$ gilt.

Die Menge $\tau$ der Teilräume von $({\mathfrak {P}},G)$ bildet ein Hüllensystem.

Zugehöriger Hüllenoperator

Zum Hüllensystem $\tau$ lässt sich in der üblichen Weise der zugehörige Hüllenoperator bilden. Diesen schreibt man oft als $\langle \;\rangle$. Für ${\mathfrak {P}}_{0}\subseteq {\mathfrak {P}}$ gilt also

$\langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =\bigcap \{{\mathfrak {T}}\in {\mathcal {T}}\colon {\mathfrak {T}}\supseteq {\mathfrak {P}}_{0}\}$.

Das bedeutet:

$\langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle$ ist der kleinste Teilraum von $({\mathfrak {P}},G)$, der ${\mathfrak {P}}_{0}$ umfasst.

Im Falle, dass dabei ${\mathfrak {P}}_{0}$ eine endliche Menge von Punkten ist, etwa ${\mathfrak {P}}_{0}=\{P_{1},\ldots ,P_{m}\}\;(m\in \mathbb {N} )$, schreibt man auch

$\langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =\langle P_{1},\ldots ,P_{m}\rangle$

oder auch

$\langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =P_{1}\vee \ldots \vee P_{m}$.

Ist $m=2$ und sind $P_{1}$ und $P_{2}$ verschieden, so hat man $\langle {\mathfrak {P}}_{0}\rangle =\langle P_{1},P_{2}\rangle$, also wiederum die Verbindungsgerade von $P_{1}$ und $P_{2}$.

Beispiel der Koordinatenebene

Die Koordinatenebene $K^{2}$ über einem kommutativen Körper $K$ gibt ein Standardbeispiel für einen Inzidenzraum $({\mathfrak {P}},G)$, in dem das Verbindungsaxiom gilt. Hier ist die Punktmenge

${\mathfrak {P}}=K^{2}$

und die Geradenmenge

$G=\{a+Ku\colon a\in K^{2}\land u\in K^{2}\setminus \{\mathbf {0} \}\}$.

Die Geradenmenge $G$ erhält man also dadurch, dass man alle nur möglichen Nebenklassen zu allen in $K^{2}$ gelegenen Unterräumen der Dimension 1 bildet. Hat man hier zwei unterschiedliche Punkte $P_{1},P_{2}\in K^{2}$, so lässt sich die Verbindungsgerade in folgender Weise darstellen:

$\langle P_{1},P_{2}\rangle =\{\alpha P_{1}+\beta P_{2}\colon \alpha ,\beta \in K\land \alpha +\beta =1\}$

Das Standardbeispiel für dieses Konzept bieten die Geraden, die zwei Punkte der euklidischen Ebene verbinden.

Siehe auch

• Verbindungsvektor
• Verbindungsraum
• Verbindungsstrecke

Quellen

• Gerhard Hessenberg - Justus Diller: Grundlagen der Geometrie. 2. Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1967, S. 20, 220. 
• David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von Dr. Paul Bernays (= Teubner-Studienbücher: Mathematik). 11. Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1972, ISBN 3-519-12020-8, S. 3 ff.  MR1109913
• Helmut Karzel, Kay Sörensen, Dirk Windelberg: Einführung in die Geometrie (= Uni-Taschenbücher. Band 184). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1973, ISBN 3-525-03406-7, S. 11 ff. 
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0, S. 7, 48 ff., 52, 212. 
• Herbert Meschkowski: Denkweisen großer Mathematiker. Ein Weg zur Geschichte der Mathematik (= Dokumente zur Geschichte der Mathematik). 3. Auflage. Vieweg Verlag, Braunschweig 1990, ISBN 3-528-28179-0.  MR1086172
• Eberhard M. Schröder: Vorlesungen über Geometrie. 2. Affine und projektive Geometrie. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zürich 1991, ISBN 3-411-15301-6, S. 2 ff.  MR1166803
• Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller (Bearb.): Vieweg-Mathematik-Lexikon. Begriffe, Definitionen, Sätze, Beispiele für das Grundstudium. Vieweg Verlag, Braunschweig, Wiesbaden 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 311. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Geometrie]]

Diagonalensatz

Der Diagonalensatz ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, mit dem eine charakteristische Bedingung formuliert wird, unter der ein Viereck der euklidischen Ebene ein Parallelogramm ist.

Formulierung des Satzes

Parallelogramm mit Diagonalen

Der Satz besagt folgendes:

Gegeben sei ein Viereck $\square {ABCD}$ der euklidischen Ebene.

Dann gilt:

$\square {ABCD}$ ist jedenfalls dann ein Parallelogramm, wenn die beiden Diagonalen ${\overline {AC}}$ und ${\overline {BD}}$ sich gegenseitig halbieren in der Weise, dass die Mittelpunkte der beiden Diagonalen übereinstimmen.

Herleitung mittels Vektorrechnung

Die Bedingung besagt, dass es in der euklidischen Ebene einen Punkt $S$ gibt dergestalt, dass die beiden Vektorgleichungen ${\overrightarrow {AS}}={\overrightarrow {SC}}$ und ${\overrightarrow {BS}}={\overrightarrow {SD}}$ bestehen.

Daraus folgert man:

${\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AS}}+{\overrightarrow {SD}}={\overrightarrow {SC}}+{\overrightarrow {BS}}={\overrightarrow {BS}}+{\overrightarrow {SC}}={\overrightarrow {BC}}$.

Genauso ergibt sich:

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {AS}}+{\overrightarrow {SB}}={(-{\overrightarrow {CS}})}+{(-{\overrightarrow {BS}})}={(-{\overrightarrow {CS}})}+{(-{\overrightarrow {SD}})}=-({\overrightarrow {CS}}+{\overrightarrow {SD}})=-{\overrightarrow {CD}}={\overrightarrow {DC}}$.

Dies beweist den Satz.

Verallgemeinerung auf Koordinatenebenen

Der Diagonalensatz lässt sich auf affine Koordinatenebenen ${\mathbb {A} }_{2}(K)=K^{2}$ über kommutativen Körpern $K$ einer Charakteristik $\operatorname {char} (K)\neq 2$ ausdehnen und verschärfen; und zwar wie folgt:

Gegeben seien vier paarweise verschiedene nichtkollineare Punkte $A,B,C,D\in {\mathbb {A} }_{2}(K)$.

Dann sind die folgenden beiden Bedingungen gleichwertig:

(A1) Die vier Punkte bilden ein Parallelogramm; d. h.:

Es sind ${A\vee B}\parallel {C\vee D}$ und ${A\vee D}\parallel {B\vee C}$.

(A2) Die beiden Diagonalen ${A\vee C}$ und ${B\vee D}$ schneiden sich im Mittelpunkt der beiden Diagonalen; d h.:

Es gilt ${\frac {1}{2}}(A+C)={\frac {1}{2}}(B+D)$ .

Anmerkung zu Koordinatenebenen über Körpern der Charakteristik 2

Für einen kommutativen Körper $K$ der Charakteristik $\operatorname {char} (K)=2$ ist der Sachverhalt anders. Bilden in diesem Falle vier Punkte ein Parallelogramm, so sind die Diagonalen parallel.

Siehe auch

• Satz von Varignon
• Satz von Commandino

Literatur

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u.a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0. 
• Harald Scheid (Hrsg.): DUDEN: Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim - Wien - Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Vierecksgeometrie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Diagonalensatz]]

Satz des Heron (vollständige Überarbeitung)

Der Satz des Heron ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie, welcher nach dem antiken Mathematiker Heron von Alexandria benannt ist. Der Satz beschreibt eine mathematische Formel, mit deren Hilfe der Flächeninhalt eines Dreiecks aus den drei Seitenlängen berechenbar ist. Man nennt die Formel auch heronsche Formel bzw. heronische Formel oder auch die Formel von Heron (englisch Heron’s formula).

Formulierung des Satzes

Der Flächeninhalt $F_{\triangle }$ eines Dreiecks $\triangle$ der euklidischen Ebene mit den Seitenlängen

$a,b,c$

und halbem Umfang

$s\,=\,{\frac {a+b+c}{2}}$

ist

$F_{\triangle }={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$  .

Andere Darstellungen

Die heronische Formel lässt sich auch so ausdrücken:

(V1)   $F_{\Delta }={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}}$

Ausmultipliziert erhält man:

(V2)   $F_{\Delta }={\frac {\sqrt {2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}}$.

Als weitere Darstellung der heronischen Formel ist auch die folgende gängig:

(V3)   $F_{\Delta }={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{4}}$,

welche man aus der Version (V1) durch Umgruppieren und Anwendung der binomischen Formeln mit den folgenden Gleichungen gewinnt:

${\begin{aligned}16{F_{\Delta }}^{2}&={\bigl (}((a+b)+c)((a+b)-c){\bigr )}{\bigl (}(c+(a-b))(c-(a-b)){\bigr )}\\&={\bigl (}(a+b)^{2}-c^{2}{\bigr )}{\bigl (}c^{2}-(a-b)^{2}{\bigr )}\\&={\bigl (}a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}{\bigr )}{\bigl (}c^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}{\bigr )}\\&={\bigl (}2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}){\bigr )}{\bigl (}2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}){\bigr )}\\&=4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\\end{aligned}}$

Aus der Version (V3) lässt sich schließlich eine Determinantendarstellung ableiten:

(V4)   $F_{\Delta }={\frac {1}{4}}{\sqrt {-\det \left({\begin{matrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{matrix}}\right)}}$

Dies ist ein Spezialfall der Cayley-Menger-Determinante, mit der man das Volumen eines Simplexes, der Verallgemeinerung von Dreiecken auf beliebige Dimensionen (z.B. Tetraeder in drei Dimensionen), berechnen kann.

(V4) erhält man aus (V3) unter Anwendung des Entwicklungssatzes von Laplace und elementarer Matrizenumformungen wie folgt:

${\begin{aligned}4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}&=4a^{2}b^{2}-(c^{2}-a^{2}-b^{2})^{2}\\&=\det \left({\begin{matrix}-2a^{2}&c^{2}-a^{2}-b^{2}\\c^{2}-a^{2}-b^{2}&-2b^{2}\end{matrix}}\right)\\&=\det \left({\begin{matrix}1&a^{2}&b^{2}\\0&-2a^{2}&c^{2}-a^{2}-b^{2}\\0&c^{2}-a^{2}-b^{2}&-2b^{2}\end{matrix}}\right)\\&=\det \left({\begin{matrix}1&a^{2}&b^{2}\\1&-a^{2}&c^{2}-a^{2}\\1&c^{2}-b^{2}&-b^{2}\end{matrix}}\right)\\&=-\det \left({\begin{matrix}0&1&0&0\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&-a^{2}&c^{2}-a^{2}\\1&b^{2}&c^{2}-b^{2}&-b^{2}\end{matrix}}\right)\\&=-\det \left({\begin{matrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Weiterer Zusammenhang

Die heronische Formel kann als Grenzfall aus der Formel für den Flächeninhalt $F_{\Sigma }$ eines Sehnenvierecks $\Sigma$ gewonnen werden, wenn zwei der Eckpunkte ineinander übergehen, so dass eine der Seiten des Sehnenvierecks die Länge Null annimmt. Für den Flächeninhalt eines Sehnenvierecks gilt nämlich nach der Formel von Brahmagupta

$F_{\square }={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$  ,

wobei hier der halbe Umfang

$s\,=\,{\frac {a+b+c+d}{2}}$

ist.

Anmerkungen

1. Für die Herleitung der heronischen Formel gibt es viele Vorgehensweisen. Insbesondere lässt sie sich elementar mit Hilfe des pythagoreischen Lehrsatzes herleiten. Es lässt sich auch leicht zeigen, dass die heronische Formel und der Satz des Pythagoras innerhalb der Elementargeometrie als gleichwertig zu betrachten sind, also gegenseitig auseinander abgeleitet werden können.
2. Neben der Zuweisung der Formel an Heron von Alexandria gibt es auch eine Zuweisung, der zufolge sie auf Archimedes zurückgeht.

Weblinks

Wikibooks: Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Dreieck: Satz des Heron – Lern- und Lehrmaterialien

• Eric W. Weisstein: Satz des Heron. In: MathWorld (englisch).
• Elementarer Beweis
• Beweis mit Hilfe des Kosinussatzes (deutsch) (PDF; 88 kB)
• Beweis für den Satz des Heron und seine Folgerungen (PDF; 82 kB)

Literatur

• Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 2, F–K. Aulis Verlag Deubner, Köln 1977, ISBN 3-7614-0242-2. 
• Anna Maria Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras (= Lehrbücher und Monographien zur Didaktik der Mathematik. Band 29). B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17321-1. 
• György Hajós: Einführung in die Geometrie. B. G. Teubner Verlag, Leipzig (ungarisch: Bevezetés A Geometriába. Übersetzt von G. Eisenreich [Leipzig, auch Redaktion]). 
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2007, ISBN 978-3-540-49327-3. 
• Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 2. 13. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. 

Einzelnachweise

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Satz von den Ergänzungsparallelogrammen

Der Satz von den Ergänzungsparallelogrammen ist ein Lehrsatz der Elementargeometrie über die Flächeninhalte von Parallelogrammen.

Formulierung des Satzes

Der Satz besagt folgendes:

Gegeben sei ein Parallelogramm ${\mathcal {P}}=ABCD$ der euklidischen Ebene und darin sei $d$ eine der beiden Diagonalen, etwa (oBdA) $d=AC$.

Weiter sei $Z$ ein innerer Punkt von $d$.

Durch $Z$ seien die beiden Parallelen zu den Seiten von ${\mathcal {P}}$ gezogen, welche ${\mathcal {P}}$ in vier Teilparallelogramme unterteilen, wobei $Z$ deren alleiniger gemeinsamer Punkt ist.

Dann gilt:

Die beiden Teilparallelogramme, welche von der Diagonalen $d$ nicht zerlegt werden, also mit $d$ allein den Punkt $Z$ gemeinsam haben, sind ergänzungsgleich und daher von identischem Flächeninhalt.

Herleitung und Erläuterung

Die vier Teilparallelogramme von ${\mathcal {P}}$ seien mit ${\mathcal {P}}_{A},{\mathcal {P}}_{B},{\mathcal {P}}_{C},{\mathcal {P}}_{D}$ bezeichnet. Die Indizierung orientiert sich an den Eckpunkten von ${\mathcal {P}}$. Es ist also ${\mathcal {P}}_{X}$ dasjenige Teilparallelogramm, welches den Eckpunkt   $X$   $(X=A,B,C,D)$   enthält. Folglich sind aus Konvexitätsgründen die beiden Teilparallelogramme, welche mit der Diagonalen   $d$   allein den Punkt $Z$ gemeinsam haben, ${\mathcal {P}}_{B}$ und ${\mathcal {P}}_{D}$, während ${\mathcal {P}}_{A}$ und ${\mathcal {P}}_{C}$ diejenigen beiden Teilparallelogramme seien, welche mit $d$ mehr als einen Punkt gemeinsam haben.

$d$   zerlegt nun ${\mathcal {P}}$ in zwei kongruente Dreiecke, nämlich in $ABC$ und $ACD$, und genauso zerlegt   $d$ sowohl ${\mathcal {P}}_{A}$ als auch ${\mathcal {P}}_{C}$ jeweils in zwei kongruente Dreiecke.

Sind hier nun ${\Delta }_{1}$ und ${\Delta }_{2}$ die beiden Zerlegungsdreiecke von ${\mathcal {P}}_{A}$ beziehungsweise ${\Delta }_{3}$ und ${\Delta }_{4}$ die beiden Zerlegungsdreiecke von ${\mathcal {P}}_{C}$ und dabei ${\Delta }_{1}$ und ${\Delta }_{3}$ innerhalb des Dreiecks $ABC$ beziehungsweise ${\Delta }_{2}$ und ${\Delta }_{4}$ innerhalb des Dreiecks $ACD$ gelegen, so wird $ABC$ in die drei Flächenstücke ${\Delta }_{1}$ und ${\Delta }_{3}$ und ${\mathcal {P}}_{B}$ zerlegt und genauso $ACD$ in die drei Flächenstücke ${\Delta }_{2}$ und ${\Delta }_{4}$ und ${\mathcal {P}}_{D}$  .

Folglich ergeben sich hinsichtlich der Flächeninhalte die Identitäten

(I)   $F_{ABC}=F_{ACD}={\frac {F_{ABCD}}{2}}$

(II)   $F_{ABC}=F_{{\Delta }_{1}}+F_{{\Delta }_{3}}+F_{{\mathcal {P}}_{B}}$

(III)   $F_{ACD}=F_{{\Delta }_{2}}+F_{{\Delta }_{4}}+F_{{\mathcal {P}}_{D}}$

und daraus wegen der genannten Kongruenzbeziehungen unmittelbar die Identität

(IV)   $F_{{\mathcal {P}}_{B}}=F_{{\mathcal {P}}_{D}}$ .

Dies bedeutet auch:

${\mathcal {P}}_{B}$   und   ${\mathcal {P}}_{D}$ sind ergänzungsgleich.

Denn durch Hinzufügung endlich vieler paarweise kongruenter Vielecke werden aus ${\mathcal {P}}_{B}$   und   ${\mathcal {P}}_{D}$ zwei kongruente Vielecke erhalten, nämlich die beiden Dreiecke   $ABC$   und   $ACD$

Dies beweist den Satz.

Zur Terminologie

Die beiden Teilparallelogramme ${\mathcal {P}}_{B}$   und   ${\mathcal {P}}_{D}$ werden wegen des in dem Satz dargestellten Sachverhalts Ergänzungsparallelogramme genannt. Damit ist auch der Name des Satzes selbst erklärt.

Literatur

• P. S. Alexandroff, A. I. Markuschewitsch, A. J. Chintschin [Red.]: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band V. Geometrie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 11). Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1971. 
• Hermann Athen, Jörn Bruhn (Hrsg.): Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 1. A-E. Aulis Verlag Deubner, Köln 1977, ISBN 3-7614-0242-2. 
• Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt/Main 1978, ISBN 3-87144-336-0. 
• Hugo Fenkner, Karl Holzmüller: Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Karl Holzmüller. 12. Auflage. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. I. Teil. Verlag von Otto Salle, Berlin 1926. 
• Johannes Kratz: Geometrie (= Mathematik für Gymnasien. Band 4). 4. Auflage. Bayerischer Schulbuch Verlag, München 1966. 
• Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg.): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Geometrie. Ausgabe E. Teil 1. 15. Auflage. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. 
• Harald Scheid (Hrsg.): DUDEN: Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2. 

Einzelnachweise

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Satz von Liebmann

Der Satz von Liebmann ist ein klassisches Resultat der Differentialgeometrie, welches nach dem deutschen Mathematiker Heinrich Liebmann benannt ist. Er behandelt eine Kennzeichnung der Kugeloberflächen im dreidimensionalen euklidischen Raum.

Der Satz

Erste Formulierung

Der Satz von Liebmann besagt in moderner Formulierung folgendes:

Sei $F\subset {\mathbb {E} }^{3}$ eine zusammenhängende und kompakte Fläche der Klasse $C^{4}$ im dreidimensionalen euklidischen Raum und sei dabei die gaußsche Krümmung von $F$ eine Konstante $K$.

Dann ist $K$ eine positive Zahl der Form $K=r^{2}$ für eine reelle Zahl $r>0$ und $F$ fällt mit der Oberfläche einer dreidimensionalen Vollkugel vom Radius $R={\frac {1}{r}}$ zusammen, ist also eine Sphäre der Form $F=S_{R}^{2}(p)$ für ein $p\in {\mathbb {E} }^{3}$.

Zweite Formulierung

Im dreidimensionalen Raum ist eine Sphäre vom Radius $R$ stets eine zusammenhängende und kompakte $C^{4}$-Fläche und hat dabei stets die konstante gaußsche Krümmung $K={\frac {1}{R^{2}}}$. Daher lässt sich der Satz von Liebmann auch wie folgt formulieren:

Im dreidimensionalen Raum sind einzig und allein die Sphären zusammenhängende und kompakte $C^{4}$-Flächen mit konstanter gaußscher Krümmung.

Dritte Formulierung

Hinsichtlich ihrer topologischen Eigenschaften ist eine Fläche $F\subset {\mathbb {E} }^{3}$ eine 2-Mannigfaltigkeit. Da in der Topologie eine zusammenhängende und kompakte 2-Mannigfaltigkeit auch eine geschlossene Fläche genannt wird, lässt sich der Satz von Liebmann sehr verkürzt auch in der folgenden Weise angeben:

Im dreidimensionalen Raum sind die Sphären die einzigen geschlossenen $C^{4}$-Flächen mit konstanter gaußscher Krümmung.

Zusammenhang mit anderen Resultaten

Der zweite Satz von Liebmann

Im Jahre 1900 hat Heinrich Liebmann einen weiteren, dem obigen eng verwandten Satz vorgelegt. Dieser zweite liebmannsche Satz lautet in moderner Formulierung wie folgt:

Sei $F\subset {\mathbb {E} }^{3}$ eine zusammenhängende und kompakte Fläche der Klasse $C^{4}$ im dreidimensionalen euklidischen Raum und sei dabei die gaußsche Krümmung von $F$ durchgängig positiv und die mittlere Krümmung von $F$ eine Konstante $H$.

Dann fällt $F$ mit der Oberfläche einer Kugel vom Radius $R={\frac {1}{|H|}}$ zusammen.

Mit anderen Worten und kürzer ausgedrückt:

Im dreidimensionalen Raum sind die Sphären die einzigen geschlossenen $C^{4}$-Flächen mit durchgängig positiver gaußscher Krümmung und mit konstanter mittlerer Krümmung.

Der Satz von Cohn-Vossen und Herglotz

Der Satz von Liebmann lässt sich in Zusammenhang bringen mit der Frage, wie eine zusammenhängende kompakte Fläche des dreidimensionalen euklidischen Raums beschaffen sein muss, um isometrisch – im Sinne der Isometrie riemannscher Mannigfaltigkeiten – zur Einheitssphäre oder zu einer allgemeinen Sphäre zu sein. Hierüber gibt der Satz von Cohn-Vossen und Herglotz Auskunft, welcher auf Stefan Cohn-Vossen und Gustav Herglotz zurückgeht und ebenfalls ein klassisches Resultat der Differentialgeometrie darstellt:

Stehen im dreidimensionalen euklidischen Raum ${\mathbb {E} }^{3}$ zwei geschlossene Flächen $F,F^{*}\subset {\mathbb {E} }^{3}$ der Klasse $C^{\infty }$ mit jeweils positiver gaußscher Krümmung zueinander in Isometrie, so existiert eine euklidische Bewegung $\phi$ mit $\phi (F)=F^{*}$, welche also $F$ in $F^{*}$ überführt.

Diesen Satz bezeichnet der österreichische Geometer Karl Strubecker in seiner Differentialgeometrie auch als Identitätssatz für Eiflächen und nennt ihn einen für die metrische Theorie der Eiflächen grundlegenden Satz. Dabei versteht man in der Differentialgeometrie unter einer Eifläche jede geschlossene Fläche des dreidimensionalen euklidischen Raums, welche mindestens von der Klasse $C^{3}$ ist und durchweg positive gaußsche Krümmung, also $K>0$, hat. Der Satz von Cohn-Vossen und Herglotz lässt sich daher auch folgendermaßen formulieren:

Im dreidimensionalen euklidischen Raum sind zwei isometrische Eiflächen der Klasse $C^{\infty }$ stets kongruent.

Der Satz von Hilbert

Der ersten Teilaussage des Satzes von Liebmann steht in enger Verbindung zu einem allgemeinen Resultat, welches von David Hilbert im Jahre 1900 vorgelegt wurde. Es stellt das zentrale Ergebnis von Anhang V (Über Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung) seiner Grundlagen der Geometrie dar und lässt sich angeben wie folgt:

Im dreidimensionalen euklidischen Raum existiert keine $C^{\infty }$-Fläche $F\subset {\mathbb {E} }^{3}$ von konstanter gaußscher Krümmung $K<0$.

Hilbert wurde zu diesem Resultat geführt durch die Fragestellung, ob die von Eugenio Beltrami gelieferte Konstruktion einer nichteuklidischen Ebene (Pseudosphäre) als Ganzes in den dreidimensionalen Raum eingebettet denkbar sei. Er gelangt zu einer Verneinung dieser Frage und schreibt dazu explizit:

„, d. h. wir erkennen, dass es eine singularitätenfreie und überall regulär analytische Fläche von constanter negativer Krümmung nicht giebt. Insbesondere ist daher auch die zu Anfang aufgeworfene Frage zu verneinen, ob auf die BELTRAMIsche Weise die GANZE LOBATSCHEFSKIJsche Ebene durch eine regulär analytische Fläche im Raume sich verwirklichen lässt.“

Anmerkungen

1. In der Frage, von welcher Differenzierbarkeitsklasse die Flächen zu sein haben, damit die obigen Sätze gültig sind, finden sich in der Literatur unterschiedliche Angaben. Setzt man stets $C^{\infty }$-Flächen voraus, so sind die Sätze durchgängig gültig. Vielfach bleiben die Aussagen der Sätze auch noch unter abgeschwächten Bedingungen beweisbar. So wurde etwa von dem russischen Mathematiker A. W. Pogorelow im Jahre 1952 gezeigt, dass die Aussage des Satzes von Cohn-Vossen und Herglotz auch noch für eine erheblich allgemeinere Klasse von Eiflächen beschränkter gaußscher Krümmung Gültigkeit hat.
2. Der Begriff der Eifläche geht auf Wilhelm Blaschke zurück. Einem bedeutenden Satz von Jacques Hadamard zufolge ist eine Eifläche im ${\mathbb {E} }^{3}$ stets orientierbar, zur 2-Sphäre   $S^{2}$   diffeomorph und streng konvex, wobei strenge Konvexität so verstanden wird, dass die Eifläche an jedem ihrer Punkte vollständig auf einer Seite der diesem Punkte zugehörigen Tangentialebene gelegen ist, also stets vollständig innerhalb eines der beiden abgeschlossenen Halbräume liegt, welche durch die Tangentialebene gebildet werden.

Literatur

• M. Berger, B. Gostiaux: Differential Geometry: Manifolds, Curves and Surfaces (= Graduate Texts in Mathematics. Band 115). Springer Verlag, New York (u. a.) 1988, ISBN 0-387-96626-9 (MR0917479). 
• David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von Dr. Paul Bernays (= Teubner-Studienbücher: Mathematik). 11. Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1972, ISBN 3-519-12020-8 (MR1109913). 
• David Hilbert: Ueber Flächen von constanter Gaussscher Krümmung. In: Trans. Amer. Math. Soc. Band 2, 1901, S. 87–99 (ams.org [PDF]).  MR1500557
• Wilhelm Klingenberg: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie (= Heidelberger Taschenbücher. Band 107). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1973, ISBN 3-540-06253-X (MR0415512). 
• E. Kreyszig: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten (= Mathematik und ihre Anwendungen in Physik und Technik: Reihe A. Band 25). 2., neu bearbeitete Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1968 (MR0229174). 
• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten (= STUDIUM). 5., aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1233-9. 
• Detlef Laugwitz: Differentialgeometrie (= Mathematische Leitfäden). 2. durchgesehene Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1968 (MR0243432). 
• H. Liebmann: Eine neue Eigenschaft der Kugel. In: Nachr. Kgl. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Klasse. Band 44, 1899, S. 44–55. 
• Heinrich Liebmann: Ueber die Verbiegung der geschlossenen Flächen positiver Krümmung. In: Math. Ann. Band 53, 1900, S. 81–112 (download.springer.com [PDF]).  MR1511083
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277). 
• Karl Strubecker: Differentialgeometrie III. Theorie der Flächenkrümmung (= Sammlung Göschen. 1180/1180A). Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1959. 
• Rolf Walter: Differentialgeometrie. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1989, ISBN 3-411-03216-2. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Die Bieberbachsche Ungleichung ist ein Resultat der Konvexgeometrie, welches nach dem Mathematiker Ludwig Bieberbach (1886–1982) benannt ist. Sie behandelt den Zusammenhang zwischen Volumen und Durchmesser gewisser ausgezeichneter Teilmengen des n-dimensionalen euklidischen Raums.

Die Ungleichung

Die Bieberbachsche Ungleichung lässt sich wie folgt formulieren:

Für einen nichtleeren kompakten konvexen Körper $A$ des $n$-dimensionalen euklidischen Raums gilt hinsichtlich seines $n$-dimensionalen Volumens $V(A)$ und seines Durchmessers $\operatorname {diam} (A)$ stets die Ungleichung

$V(A)\leq {\frac {V_{n}}{2^{n}}}\cdot (\operatorname {diam} (A))^{n}$

wobei $V_{n}$ das Volumen der $n$-dimensionalen Einheitskugel bedeutet.

In dieser Ungleichung besteht Gleichheit dann und nur dann, wenn $A$ mit einer $n$-dimensionalen Kugel zusammenfällt.

Entwicklungsgeschichte

Ludwig Bieberbach hat im Jahre 1915 die nach ihm benannte Ungleichung für die euklidische Ebene nachgewiesen. Sie wurde dann von verschiedenen Autoren verallgemeinert und zunächst von Wilhelm Blaschke auf den dreidimensionalen Raum übertragen. Daran schloss die weitere Verallgemeinerung der Ungleichung auf euklidische Räume höherer Dimension und dann sogar auf nichteuklidische Räume an. Größten Anteil an dieser Weiterentwicklung hatten vor allem Erhard Schmidt und einige russische Mathematiker wie Paul Urysohn. Wie sich zeigen lässt, ergibt sich die Bieberbachsche Ungleichung insbesondere als Folgerung einer allgemeinen Ungleichung über gemischte Volumina von Alexandroff-Fenchel.

Siehe auch

• Isoperimetrische Ungleichung

Literatur

• Ludwig Bieberbach: Über eine Extremaleigenschaft des Kreises. In: Jber. dtsch. Math.-Ver. Band 24, 1915, S. 247–250 (uni-goettingen.de). 
• Yu. D. Burago, V. A. Zalgaller: Geometric Inequalities (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 285). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1988, ISBN 3-540-13615-0 (MR0936419). 
• Wilhelm Blaschke: Kreis und Kugel. Chelsea Publishing Company, New York (u. a.) 1949 (MR0076364 MR0077958 – Nachdruck der Ausgabe bei Veit [Leipzig 1916]). 
• H. Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 93). Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1957 (MR0102775). 
• Erhard Schmidt: Der Brunn-Minkowskische Satz und sein Spiegeltheorem sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der euklidischen und hyperbolischen Geometrie. In: Math. Ann. Band 120, 1948, S. 307–422 (MR0028601 uni-goettingen.de). 
• Erhard Schmidt: Die Brunn-Minkowskische Ungleichung und ihr Spiegelbild sowie die isoperimetrische Eigenschaft der Kugel in der euklidischen und nichteuklidischen Geometrie I, II. In: Mathematische Nachrichten. Band 1, 2 (1948/1949), S. 81–157 (1948), 171–244 (1949) (MR0028600 MR0034044). 
• Paul Urysohn: Mittlere Breite und Volumen der konvexen Körper im n-dimensionalen Raume. In: Matem. Sb. SSSR. Band 31, 1924, S. 477–486. 

Einzelnachweise und Fußnoten

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Satz von Euler (Vierecksgeometrie)

Der Satz von Euler der Vierecksgeometrie ist ein geometrischer Lehrsatz, der eine grundlegende Identitätsgleichung über den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen eines Vierecks und den Längen seiner beiden Diagonalen angibt. Der Satz ist einer der vielen Beiträge des großen Schweizer Mathematikers Leonhard Euler zur Elementargeometrie.

Formulierung des Satzes

Bild zum Eulerviereck

Der Satz lautet wie folgt:

Gegeben sei ein konvexes Viereck   $\square ABCD$   der euklidischen Ebene.

Auf den beiden Diagonalen   $AC=e$   und   $BD=f$   seien   $M$   bzw.   $N$   die beiden Mittelpunkte.

Dann gilt:

$|AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+4\cdot |MN|^{2}$

oder

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4\cdot g^{2}$ .

Folgerung

Aus dem Satz von Euler folgt unmittelbar die bekannte Parallelogrammgleichung.

Denn im Falle, dass   $\square ABCD$   ein Parallelogramm ist, folgt   $M=N$  , also   $|MN|=g=0$  , sowie   $|AB|=|CD|=a=c$   und   $|BC|=|AD|=b=d$   und damit   $2\cdot (|AB|^{2}+|BC|^{2})=|AC|^{2}+|BD|^{2}$ oder $2\cdot (a^{2}+c^{2})=e^{2}+f^{2}$ .

Hilfssatz

Bild zum Dreieck

Der Satz von Euler lässt sich unter Zuhilfenahme des folgenden Hilfssatzes herleiten:

Für ein Dreieck   $\triangle ABC$   der euklidischen Ebene, dessen Seite   $BC$   den Mittelpunkt   $M$   hat, gilt stets:

$|AB|^{2}+|AC|^{2}=2\cdot (|AM|^{2}+|BM|^{2})=2\cdot (|AM|^{2}+|CM|^{2})$

oder

$b^{2}+c^{2}=2\cdot \left[{\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+e^{2}}\right]$  .

Die soeben genannte Gleichung - welche offenbar eine andere Version der Apollonios-Gleichung darstellt - wurde schon von Apollonios von Perge angegeben. Sie ist auch bei Pappus Alexandrinus zu finden.

Literatur

• Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. Dr. Martin Sändig, Walluf bei Wiesbaden 1973, ISBN 3-500-26010-1 (Unveränderter Neudruck der Ausgabe Stuttgart 1867–1873). 

Weblinks

Commons: Satz von Euler – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise und Anmerkungen

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Außenwinkelsatz (Ursprüngliche Version von mir)

Der Außenwinkelsatz (englisch Exterior Angle Theorem) ist ein Lehrsatz der Geometrie. Sein Beweis beruht nicht auf dem Parallelenaxiom und er gehört damit zu den Sätzen der absoluten Elementargeometrie. Er wird in der modernen mathematischen Literatur auch als schwacher Außenwinkelsatz oder als der erste Satz vom Außenwinkel genannt, um ihn von seinen Verschärfungen zu unterscheiden, die sich innerhalb der euklidischen Geometrie und nichteuklidischen Geometrie ergeben.

In David Hilberts Grundlagen der Geometrie tritt der Satz als Satz vom Außenwinkel auf. Laut Hilbert ist er ein „fundamentaler Satz, der schon bei Euklid eine wichtige Rolle spielt und aus dem eine Reihe wichtiger Tatsachen folgt“.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich angeben wie folgt:

Jeder Außenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist stets strikt größer als jeder der beiden nichtanliegenden Innenwinkel und jeder Innenwinkel stets strikt kleiner als jeder der beiden nichtanliegenden Außenwinkel.

Erläuterungen

Innenwinkel (α,β,γ) und Außenwinkel (δ,ε,ζ) eines Dreiecks in der euklidischen Ebene

1. Sowohl Innenwinkel als auch Außenwinkel eines Dreiecks sind umkehrbar eindeutig den Eckpunkten des Dreiecks zugeordnet. Hierbei ist ein Außenwinkel eines Dreiecks dadurch charakterisiert, dass sein Scheitelpunkt gerade der zugehörige Eckpunkt ist und dass er mit dem zugehörigen Innenwinkel ein Paar von Nebenwinkeln bildet. Diesen zugehörigen Innenwinkel nennt man den anliegenden Innenwinkel, während man die beiden anderen Innenwinkel als nichtanliegende Innenwinkel bezeichnet. Dementsprechend bezeichnet man für einen Innenwinkel jeden der beiden Außenwinkel, die den beiden nicht zugehörigen Eckpunkten zugeordnet sind, als nichtanliegende Außenwinkel.
2. Die Außenwinkeleigenschaft bedeutet, dass der Außenwinkel zusammen mit dem anliegenden Innenwinkel einen gestreckten Winkel bildet. Dabei haben der Außenwinkel und der anliegende Innenwinkel genau einen Schenkel gemeinsam, während die beiden nicht gemeinsamen Schenkel auf einer Geraden liegen.
3. Beim Außenwinkelsatz spielt der Größenvergleich zweier Winkel eine wesentliche Rolle. Gemäß Hilbert gilt grundsätzlich, dass je zwei Winkel entweder gleich, also kongruent, sind oder ungleich, wobei letzterenfalls von beiden einer strikt kleiner ist als der andere, welcher dann der strikt größere ist, oder umgekehrt. Dabei wird von gestreckten Winkeln und überstumpfen Winkeln abgesehen. Man erreicht unter diesen Rahmenbedingungen den Größenvergleich zweier Winkel mittels Antragen, wobei der eine Winkel an einen Schenkel des anderen im Scheitelpunkt angetragen wird in der Weise, dass sich das Innere des angetragenen Winkels mit dem Inneren des anderen in dem gemeinsamen Schenkel und noch weiteren Punkte überschneidet. Die Entscheidung hinsichtlich der Größenfrage richtet sich dann danach, ob der freie Schenkel des angetragenen Winkels ganz im Inneren des anderen Winkels liegt oder nicht. Der angetragene Winkel ist im ersten Falle der kleinere, im gegenteiligen Falle der größere. Lassen sich auf diesem Wege die Inneren beider Winkel sogar zur Deckung bringen, sind beide Winkel gleich; anderenfalls sind sie ungleich.

Folgerungen

Der Außenwinkelsatz – selbst in seiner schwachen Form – zieht eine Reihe von Folgerungen nach sich, von denen die Folgenden oft genannt werden:

1. In jedem Dreieck liegt der größeren Seite stets der größere Winkel gegenüber und umgekehrt dem größeren Winkel stets die größere Seite.
2. In jedem Dreieck ist die Summe der Längen zweier Seiten strikt größer als die Länge der dritten Seite. (Dreiecksungleichung)
3. Mindestens zwei der drei Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks sind spitze Winkel.
4. Die Winkelsumme zweier Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist stets kleiner als ein gestreckter Winkel.

Verschärfungen des Außenwinkelsatzes

Bei Zugrundelegung eines Parallelenaxioms lassen sich über die Größenbeziehungen zwischen Außen- und Innenwinkeln erheblich schärfere Aussagen machen.

Verschärfter Außenwinkelsatz in der euklidischen Geometrie

Jeder Außenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist so groß wie die Winkelsumme der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

Dieser Satz der euklidischen Geometrie wird auch als starker Außenwinkelsatz oder als der zweite Satz vom Außenwinkel oder auch allein als der Außenwinkelsatz bezeichnet.

Aus ihm ergibt sich, wenn man die übliche Winkelmessung in Grad zugrundelegt und zugleich für jeden Eckpunkt als Außenwinkel immer nur einen der beiden Nebenwinkel des zugehörigen Innenwinkels berücksichtigt, unmittelbar eine weitere Folgerung:

Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks beträgt $360^{\circ }$.

Diese Folgerung lässt sich noch verallgemeinern. Denn in der euklidischen Ebene hat die entsprechende Aussage darüber hinaus sogar Gültigkeit für alle konvexen Vielecke - unabhängig von der Anzahl der Eckpunkte:

In der euklidischen Ebene beträgt die Summe der Außenwinkel eines konvexen Vielecks beliebiger Eckenzahl stets $360^{\circ }$.

Letzteres Resultat wird manchmal ebenfalls als Außenwinkelsatz bezeichnet.

Verschärfter Außenwinkelsatz in der hyperbolischen Geometrie

Jeder Außenwinkel eines beliebigen Dreiecks ist strikt größer als die Winkelsumme der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.

Dieser verschärfte Außenwinkelsatz wird auch Außenwinkelsatz der Lobatschewski-Geometrie genannt, da er auf dem Lobatschewskischen Parallelenaxiom beruht, welches der hyperbolischen Geometrie zugrundeliegt.

Anmerkung zur Abgrenzung

In der elliptischen Geometrie gibt es keinen dem Außenwinkelsatz entsprechenden Satz. Allerdings lassen sich in der Kugelgeometrie für eulersche Kugeldreiecke manche der oben dargestellten Folgerungen ziehen wie etwa die oben angegebene Dreiecksungleichung.

Siehe auch

• Außenwinkel
• Innenwinkel
• Winkel
• Dreieck
• Geometrien
• Elementargeometrie
• Absolute Geometrie
• Euklidische Geometrie
• Nichteuklidische Geometrie
• Schulmathematik

Weblinks

1. Webpublikation „Euklidische und nichteuklidische Geometrie“ von Prof. Dr. Andreas Filler, HU Berlin
2. Auszug aus einem Skript von Dr. Michael Gieding, PH Heidelberg

Literatur

• Faber, Richard L.: Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry. (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. Band 73). Marcel Dekker, New York - Basel 1983, ISBN 0-8247-1748-1.  MR0690242
• Andreas Filler: Euklidische und nichteuklidische Geometrie (= Mathematische Texte. Band 7). BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1993, ISBN 3-411-16371-2.  MR1270445
• Gerhard Hessenberg - Justus Diller: Grundlagen der Geometrie. 2. Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1967. 
• David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von Dr. Paul Bernays (= Teubner-Studienbücher: Mathematik). 11. Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1972, ISBN 3-519-12020-8.  MR0474006
• Marvin Jay Greenberg: Euclidean and Non-Euclidean Geometries. Development and History. 3. Auflage. W. H. Freeman and Company, San Francisco, California 1993, ISBN 0-7167-2446-4.  MR1261866
• Hanfried Lenz: Nichteuklidische Geometrie (= BI-Hochschultaschenbücher. 123/123a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1967.  MR0213978
• Arno Mitschka: Axiomatik in der Geometrie (= Studienbücher Mathematik. Band 7). Herder Verlag, Freiburg (u. a.) 1977, ISBN 3-451-16898-7.  MR1270445
• Fritz Reinhardt - Heinrich Soeder (Hrsg.): dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. Band I: Grundlagen, Algebra und Geometrie. 8. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1990, ISBN 3-423-03007-0. 
• Hermann Athen - Jörn Bruhn [Hrsg.]: Lexikon der Schulmathematik und angrenzender Gebiete. Band 1 - A bis E. Aulis Verlag, Köln 1976, ISBN 3-7614-0242-2. 

Ungleichung von Erdös-Mordell-Barrow

....

Literatur

....

Satz von Blaschke über konvexe Figuren der Ebene (Sehr unfertig)

Der Satz von Blaschke über konvexe Figuren der Ebene ist ein mathematischer Satz der Konvexgeometrie, welcher auf den Geometer Wilhelm Blaschke zurückgeht. (Er wurde von dem in dessen Schrift Kreis und Kugel im Jahre 1916 vorgestellt ???)

Formulierung des Satzes

Breite <= 3 x Inkreisradius

Verwandte Resultate

Satz von Jung

Literatur

• P. S. Alexandroff et al.: Enzyklopädie der Elementarmathematik. Band V. Geometrie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1971. 

• Wilhelm Blaschke: Kreis und Kugel [Nachdruck der Ausgabe Leipzig, 1916]. Chelsea Publishing Company, New York 1949. 

• Peter M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 2007, ISBN 978-3-540-71132-2. 

• Hugo Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 1957, ISBN 3-540-02151-5. 

Satz von Helly

Der Satz von Helly ist ein mathematischer Satz, welcher auf den österreichischen Mathematiker Eduard Helly zurückgeht. Der Satz wird dem Gebiet der Konvexgeometrie zugerechnet. Hier steht er in engem Zusammenhang mit einer Reihe anderer klassischer Theoreme. Seine Wirkung reicht auch in andere Gebiete der Mathematik wie etwa in die diskrete Mathematik, wo er zum Ausgangspunkt für die Untersuchung von Mengensystemen mit der sogenannten Helly-Eigenschaft wurde.

Formulierung des Satzes

Der Satz von Helly lässt sich wie folgt formulieren:

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n$ und ein Mengensystem ${\mathcal {A}}$ von konvexen Teilmengen eines $n$-dimensionalen normierten Vektorraums ${\mathcal {L}}$ über ${\mathbb {R} }$ und dabei gelte  $|{\mathcal {A}}|\geq n+1$ . In dem gesamten Mengensystem ${\mathcal {A}}$ seien nur endlich viele Teilmengen vorhanden oder aber jede dieser Teilmengen sei kompakt in ${\mathcal {L}}$ .

Dann gilt:

Notwendig und hinreichend dafür, dass die in ${\mathcal {A}}$   vorkommenden Teilmengen einen Punkt gemeinsam haben, ist die Bedingung, dass je $(n+1)$ dieser Teilmengen einen Punkt gemeinsam haben.

Anders ausgedrückt: Hinsichtlich der Schnittmengen gilt   $\bigcap {\mathcal {A}}\not =\emptyset$ genau dann, wenn $A_{0}\cap A_{1}\cap \ldots \cap A_{n}\not =\emptyset$ für alle $A_{0},A_{1},\,\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}$.

In anderer Formulierung lässt sich der Satz von Helly auch so ausdrücken :

Unter den oben angegebenen Voraussetzungen ist dann und nur dann die Schnittmenge   $\bigcap {\mathcal {A}}=\emptyset$   , wenn schon für ein einziges endliches   ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {A}}$ mit    $|{\mathcal {B}}|\leq n+1$   die Schnittmenge   $\bigcap {\mathcal {B}}=\emptyset$   ist.

Die oben genannten allgemeinen Voraussetzungen lassen sich sogar noch abschwächen, und zwar dahingehend, dass für den unendlichen Fall nur gefordert wird:

Jede dieser Teilmengen sei abgeschlossen in ${\mathcal {L}}$ und zumindest eine dieser Teilmengen sei kompakt.

Historisches, Beweise, verwandte Ergebnisse

Den ersten Beweis des Satzes von Helly lieferte der österreichische Mathematiker Johann Radon in 1921. Er benutzte dazu ein Resultat, das heute als Satz von Radon bekannt ist. Eduard Helly hatte allerdings den Satz schon spätestens im Jahre 1913 gefunden und Johann Radon bewies den Satz erst, nachdem Eduard Helly ihn darauf hingewiesen hatte. Eduard Helly selbst veröffentlichte in der Folge dann zwei eigene Arbeiten, welche einen anderen Zugang zu diesem Thema geben. Von anderen Autoren wurden noch weitere Beweise gefunden. Der Satz von Helly ist auch ein wichtiges Hilfsmittel beim Beweis anderer klassischer Theoreme der Konvexgeometrie, wie etwa beim Satz von Krasnoselskii oder beim Satz von Jung.

Abgrenzung

Es gibt in der Analysis einen weiteren Satz von Helly, welcher auch als Auswahlsatz von Helly bekannt ist bzw. in der englischsprachigen Literatur als Helly's selection theorem. Dieser behandelt Konvergenz von Funktionenfolgen.

Literatur

Originalarbeiten

• Eduard Helly: Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten. In: Jahrb. Deut. Math. Verein. Band 32, 1923, S. 175–176. 

• Eduard Helly: Über Systeme von abgeschlossenen Mengen mit gemeinschaftlichen Punkten. In: Monatsh. Math. Band 37, 1930, S. 281–302. 

• Johann Radon: Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten. In: Math. Ann. Band 83, 1921, S. 113–115. 

Monographien

• Tommy Bonnesen, Werner Fenchel: Theorie der konvexen Körper. Berichtigter Reprint. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1974, ISBN 3-540-06234-3. 

• Arne Brøndsted: An introduction to convex polytopes. Springer-Verlag, New York u. a. 1983, ISBN 0-387-90722-X. 

• W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry. Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 0-521-63970-0. 
• Peter M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-71132-2. 

• Isaak M. Jaglom und W. G. Boltjanskij: Konvexe Figuren. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1956. 

• Victor L. Klee [Hrsg.]: Convexity. Proceedings of the Seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society, held at the University of Washington, Seattle, Washington, June 13 - 15, 1961. American Mathematical Society, Providence, RI 1963. 

• Steven R. Lay: Convex sets and their applications. John Wiley & Sons, New York u. a. 1982, ISBN 0-471-09584-2. 

• Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1980, ISBN 3-540-09071-1. 

• Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Birkhäuser, Basel u. a. 1977, ISBN 3-7643-0839-7. 

• Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968. 

Weblinks

• Eduard Helly: Über Systeme von abgeschlossenen Mengen mit gemeinschaftlichen Punkten. In: Monatsh. Math. 37, 1930. springerlink.com
• Ivan Izmestiev: Einführung in die Konvexgeometrie. (PDF; 548 kB) FU Berlin, WS 03/04 (Skript)

Einzelnachweise

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KKKategorie:Geometrie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Helly, Satz von]]

Satz von Radon

Der Satz von Radon (auch als Lemma von Radon bezeichnet) ist ein Lehrsatz der Konvexgeometrie, welcher auf den österreichischen Mathematiker Johann Radon zurückgeht. Der Satz steht in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Satz von Helly und ist über diesen mit anderen klassischen Sätzen der Konvexgeometrie verknüpft.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich in moderner Fassung wie folgt formulieren:

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n$ und dazu ein $n$-dimensionaler, reeller Vektorraum $V$ sowie eine Teilmenge $A$ von $V$, welche aus mindestens $n+2$ Elemente bestehen soll.

Dann gilt:

$A$ kann derart in zwei disjunkte Teilmengen $A_{1}$ und $A_{2}$ zerlegt werden, dass deren konvexe Hüllen $\operatorname {conv} A_{1}$ und $\operatorname {conv} A_{2}$ sich in mindestens einem Punkte schneiden.

Historisches

Johann Radon formulierte und bewies den Satz 1921. Er hat aus ihm dann den Satz von Helly hergeleitet, welchen Eduard Helly bereits im Jahre 1913 gefunden und Johann Radon später mitgeteilt hatte.

Abgrenzung

Auf Johann Radon geht auch ein weiterer wichtiger Satz der Mathematik zurück, nämlich der Satz von Radon-Nikodým, welcher jedoch nicht der Konvexgeometrie zugerechnet wird, sondern der Maßtheorie.

Verallgemeinerung

Der Satz von Radon wurde von Helge Tverberg im Jahre 1966 zum Satz von Tverberg verallgemeinert.

Literatur

Originalarbeiten

• Johann Radon: Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten. In: Math. Ann. Band 83, 1921, S. 113–115. 

Monographien

• Arne Brøndsted: An introduction to convex polytopes. Springer-Verlag, New York u. a. 1983, ISBN 0-387-90722-X. 
• Peter M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-71132-2. 
• Victor L. Klee (Hrsg.): Convexity. Proceedings of the Seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society, held at the University of Washington, Seattle, Washington, June 13 - 15, 1961. American Mathematical Society, Providence, RI 1963. 
• Steven R. Lay: Convex sets and their applications. John Wiley & Sons, New York u. a. 1982, ISBN 0-471-09584-2. 

Weblinks

• Ivan Izmestiev: Einführung in die Konvexgeometrie. (PDF; 548 kB) FU Berlin, WS 03/04 (Skript)
• Günter M. Ziegler: 3N bunte Punkte in der Ebene (Über Birchs Vermutung und dem Satz von Tverberg) (PDF; 302 kB)

Einzelnachweise

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Monge-Punkt

Der Monge-Punkt ist ein Gegenstand der Raumgeometrie. Er ist nach dem französischen Mathematiker Gaspard Monge benannt, welcher diesen ausgezeichneten Punkt des allgemeinen Tetraeders als erster beschrieben und durch den im Folgenden dargestellten Satz von Monge charakterisiert hat.

Satz und Definition

Gegeben sei ein Tetraeder ${\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ mit Kanten $a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f$. Für jede ${\mathcal {T}}$-Kante $x$ sei $M(x)$ der jeweilige Mittelpunkt und $x^{'}$ die $x$ gegenüberliegende ${\mathcal {T}}$-Kante. Durch $M(x)$ liegt jeweils genau eine Ebene ${\mathcal {E}}(x)\subset \mathbb {R} ^{3}$ derart, dass ${\mathcal {E}}(x)$ und $x^{'}$ exakt senkrecht zueinander sind.

Dafür gilt:

Der Durchschnitt $\textstyle \bigcap _{x=a,b,c,d,e,f}{{\mathcal {E}}(x)}$ besteht aus genau einem Punkt $M({\mathcal {T}})\in {\mathcal {T}}$.

Dieser eindeutig bestimmte Punkt $M({\mathcal {T}})\in {\mathcal {T}}$ ist der Monge-Punkt von ${\mathcal {T}}$.

Die oben beschriebenen Ebenen ${\mathcal {E}}(x)\subset \mathbb {R} ^{3}$   ${(x=a,b,c,d,e,f)}$ werden auch als Monge-Ebenen (engl. Monge planes) bezeichnet. Mit diesen lässt sich der Satz von Monge in aller Kürze wie folgt wiedergeben:

In einem Tetraeder ${\mathcal {T}}\subset \mathbb {R} ^{3}$ schneiden sich die Monge-Ebenen in einem Punkt, nämlich im Monge-Punkt $M({\mathcal {T}})\in {\mathcal {T}}$.

Der Satz von Mannheim

Zur Charakterisierung des Monge-Punkts lässt sich auch der folgende Satz heranziehen, welcher auf den französischen Mathematiker Amédée Mannheim zurückgeht:

Legt man in dem Tetraeder ${\mathcal {T}}$ durch jede seiner vier Höhen sowie den Höhenschnittpunkt des der jeweiligen Höhe zugehörigen senkrecht stehenden Seitendreiecks die (eindeutig bestimmte!) Ebene, so haben die auf diese Weise gegebenen vier Ebenen den Monge-Punkt $M({\mathcal {T}})$ als Schnittpunkt.

Lage auf der Eulerschen Geraden

Im allgemeinen Tetraeder ${\mathcal {T}}$ ist die Eulersche Gerade (engl. Euler line) diejenige Gerade $e({\mathcal {T}})\subset \mathbb {R} ^{3}$, welche den Schwerpunkt $S({\mathcal {T}})$ von ${\mathcal {T}}$ und den Mittelpunkt $Z({\mathcal {T}})$ der Umkugel von ${\mathcal {T}}$ verbindet. Der Monge-Punkt $M({\mathcal {T}})$ erweist sich als derjenige ausgezeichnete Punkt des allgemeinen Tetraeders ${\mathcal {T}}$, welcher in Bezug auf $S({\mathcal {T}})$ spiegelbildlich zum Punkte $Z({\mathcal {T}})$ auf der Geraden $e({\mathcal {T}})$ liegt. Anders gesagt: Der Monge-Punkt $M({\mathcal {T}})$ liegt im allgemeinen Tetraeder ${\mathcal {T}}$ auf der Geraden $e({\mathcal {T}})$ jenseits von $S({\mathcal {T}})$ derart, dass $S({\mathcal {T}})$ der Mittelpunkt der Strecke ${\overline {{M({\mathcal {T}})}{Z({\mathcal {T}})}}}$ ist.

Literatur

Artikel

• H. F. Thompson: A Geometrical Proof of a Theorem connected with the Tetrahedron. In: Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. (Series I). Band 27, 1908, S. 51–53. 

Monographien

• Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, Bronx, NY 1964, OCLC 1597161. 
• Howard Eves: An Introduction to the History of Mathematics. 5. Auflage. Saunders College Publishing, Philadelphia [u. a.] 1983, ISBN 0-03-062064-3. 
• Heinrich Schröter: Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung als Erzeugnisse projektivischer Gebilde. Teubner, Leipzig 1880. 

Einzelnachweise

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Satz von Gauß über das vollständige Vierseit

Der Satz von Gauß über das vollständige Vierseit ist ein Satz der affinen Geometrie. Er geht zurück auf Carl Friedrich Gauß (1777–1855), welcher ihn im Jahre 1810 fand. Der Satz gehört in die Reihe der sogenannten Schließungssätze, zu denen unter anderem auch der Satz von Pappos-Pascal, der Satz von Desargues, der Satz von Menelaos und der Satz von Ceva gehören.

Klärung der Begriffe

Gegeben sei ein affiner Raum ${\mathcal {A}}$ über einem Körper $K$ mit $2=1+1\neq 0$. Ein vollständiges Vierseit ${\mathcal {Q}}$ in ${\mathcal {A}}$ (engl. manchmal als quadrilateral oder eher als complete quadrilateral bezeichnet) besteht aus vier verschiedenen Geraden $g_{0},\,g_{1},\,g_{2},\,g_{3}$, die sich paarweise schneiden, von denen jedoch keine drei durch ein und denselben Punkt von ${\mathcal {A}}$ gehen.

Die Ecken des vollständigen Vierseits

Die paarweisen Schnittpunkte der vier Ausgangsgeraden werden als Ecken des vollständigen Vierseits ${\mathcal {Q}}$ bezeichnet und bilden die Eckenmenge ${\mathcal {E}}={\mathcal {E}}({\mathcal {Q}})$. Dabei gehört zu jeder 2-Menge von Geraden ${\{g_{k},\,g_{l}\}}_{\neq }\subset {\{g_{0},\,g_{1},\,g_{2},\,g_{3}\}}$ umkehrbar eindeutig die Ecke $E=g_{k}\cap g_{l}$ von ${\mathcal {Q}}$, was insgesamt zu

$|{\mathcal {E}}|={\binom {4}{2}}=6$

${\mathcal {Q}}$ -Ecken führt.

Weiter liegen auf jeder Geraden $g_{k}(k=0,\,1,\,2,\,3)$ genau drei Ecken, nämlich denjenigen Ecken, welche als Schnittpunkte $g_{k}\cap g_{j}$ von $g_{k}$ mit den übrigen Geraden $g_{j}(j\neq k)$ entstehen.

Darüber hinaus gehört zu jeder Ecke $E=g_{k}\cap g_{l}({\{g_{k},\,g_{l}\}}_{\neq }\subset {\{g_{0},\,g_{1},\,g_{2},\,g_{3}\}})$ umkehrbar eindeutig die Gegenecke oder Komplementärecke $E^{'}$, welche man dadurch gewinnt, dass man das zugehörige Komplement ${\{g_{0},\,g_{1},\,g_{2},\,g_{3}\}}\setminus {\{g_{k},\,g_{l}\}}={\{g_{m},\,g_{n}\}}$ bildet und dann die zu $E$ gehörige Gegenecke als $E^{'}=g_{m}\cap g_{n}$.

Das Bilden der Gegenecke ist eine involutorische Abbildung auf ${\mathcal {E}}$:

$E^{''}=E$   $(E\in {\mathcal {E}})$.

Die Eckenmenge ${\mathcal {E}}$ lässt sich demnach schreiben wie folgt:

${\mathcal {E}}=\{E_{1},\,{E_{1}}^{'},\,E_{2},\,{E_{2}}^{'},\,E_{3},\,{E_{3}}^{'}\}$ mit

$E_{1}=g_{0}\cap g_{1}$   ${E_{1}}^{'}=g_{2}\cap g_{3}$

$E_{2}=g_{0}\cap g_{2}$   ${E_{2}}^{'}=g_{1}\cap g_{3}$

$E_{3}=g_{0}\cap g_{3}$   ${E_{3}}^{'}=g_{1}\cap g_{2}$

Führt man diese Überlegung mit einer der drei von $g_{0}$ verschiedenen Geraden statt mit $g_{0}$ durch, so erhält man eine entsprechend andere, aber gleichwertige Darstellung der Eckenmenge ${\mathcal {E}}={\mathcal {E}}({\mathcal {Q}})$. Der Zusammenhang zwischen Ecken und Gegenecken ist von der Art der Darstellung der Eckenmenge unberührt und allein von der vier Ausgangsgeraden abhängig.

Die Ebene des vollständigen Vierseits

Der Verbindungsraum ${\mathcal {P}}=g_{0}\lor g_{1}$ ist eine affine Ebene innerhalb ${\mathcal {A}}$, welche die gesamte Eckenmenge ${\mathcal {E}}$ enthält:

Dies ist für die Ecken $E_{1},\,E_{2},\,E_{3},\,{E_{2}}^{'},\,{E_{3}}^{'}$ unmittelbar klar. Wegen $g_{2}=E_{2}\lor {E_{3}}^{'}$ enthält ${\mathcal {P}}$ dann aber auch die Gerade $g_{2}$ und damit schließlich ${E_{1}}^{'}$.

${\mathcal {P}}$ ist also unabhängig von der Art der Darstellung der Eckenmenge ${\mathcal {E}}$ die zum vollständigen Vierseit ${\mathcal {Q}}$ gehörige und von diesem erzeugte Ebene ${\mathcal {P}}={\mathcal {P}}({\mathcal {Q}})$ innerhalb ${\mathcal {A}}$.

Die Diagonalen des vollständigen Vierseits und deren Mittelpunkte

Nach Konstruktion liegen für keinen Index   $i=1,\,2,\,3$ die beiden ${\mathcal {Q}}$-Ecken $E_{i}$ und ${E_{i}}^{'}$ zugleich auf einer der vier gegebenen Geraden $g_{0},\,g_{1},\,g_{2},\,g_{3}$. Verbindet man also jede Ecke $E_{i}$ von ${\mathcal {Q}}$ mit der Gegenecke ${E_{i}}^{'}$, so erhält man zu den vier gegebenen Geraden drei weitere Geraden $d_{1},\,d_{2},\,d_{3}$ hinzu. Dies sind die Diagonalen des vollständigen Vierseits ${\mathcal {Q}}$:

$d_{1}=E_{1}\lor {E_{1}}^{'}$

$d_{2}=E_{2}\lor {E_{2}}^{'}$

$d_{3}=E_{3}\lor {E_{3}}^{'}$

Zu jeder der drei Diagonalen $d_{i}(i=1,\,2,\,3)$ existiert unter den Punkten, die mit $d_{i}$ inzidieren, jeweils ein ausgezeichneter Punkt $M_{i}$. Diesen Punkt nennt man den Mittelpunkt der Diagonalen $d_{i}$ oder kurz die Mitte der Diagonalen $d_{i}$. Der Mittelpunkt der Diagonalen $d_{i}$ erfüllt die Gleichungen:

${\overrightarrow {{E_{i}}{M_{i}}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot {\overrightarrow {{E_{i}}{E_{i}}^{'}}}={\overrightarrow {{M_{i}}{{E_{i}}^{'}}}}$

und

$E_{i}+{\tfrac {1}{2}}\cdot {\overrightarrow {{E_{i}}{E_{i}}^{'}}}=M_{i}={E_{i}}^{'}-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\overrightarrow {{E_{i}}{E_{i}}^{'}}}$

und ist dadurch eindeutig bestimmt.

Von diesen drei Mittelpunkten der Diagonalen des vollständigen Vierseits ${\mathcal {Q}}$ handelt der Satz von Gauß.

Formulierung

Der Satz lautet wie folgt:

In einem affinen Raum über einem Körper $K$ der Charakteristik $\operatorname {char} (K)\neq 2$ liegen die Mittelpunkte der Diagonalen eines vollständigen Vierseits stets auf einer Geraden, der sogenannten Gauß-Geraden.

Der Fall der euklidischen Ebene

Der Satz gilt insbesondere für den Fall, dass ${\mathcal {A}}={\mathbb {A} }_{2}(K)$, also die Koordinatenebene über $K$ ist. Ein besonders hervorzuhebender Fall liegt hierbei dann vor, wenn $K=\mathbb {R}$ ist, also der Körper der reellen Zahlen vorliegt und wenn dann der gegebene affine Raum ${\mathcal {A}}$ mit der euklidischen Ebene zusammenfällt.

Unter diesen Gegebenheiten lässt sich der Satz dann so aussprechen:

Wenn vier Geraden so in der euklidischen Ebene liegen, dass keine drei davon durch einen Punkt gehen, so liegen die Mitten der zugehörigen Diagonalen stets auf einer Geraden.

Literatur

• Claire Fisher Adler: Modern geometry : an integrated first course. 2. Auflage. McGraw-Hill, New York (u. a.) 1967. 
• H. F. Baker: An Introduction to Plane Geometry. Reprint. Chelsea Publishing Company, Bronx, NY 1971, ISBN 0-8284-0247-7. 
• Gerrit Bol: Elemente der Analytischen Geometrie. 1. Teil. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1948. 
• Rolf Brandl: Vorlesungen über Analytische Geometrie. Verlag Rolf Brandl, Hof 1996. 
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0. 
• Charlotte Angas Scott: Projective methods in plane analytical geometry. 3. Auflage. Chelsea Publishing Company, New York, NY 1961, ISBN 0-8284-0146-2. 

Einzelnachweise

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SSSORTIERUNG:Satz von Gauss uber das vollstandige Vierseit}} KKKategorie:Satz (Mathematik)|Gauss uber das vollstandige Vierseit]] KKKategorie:Geometrie]] KKKategorie:Carl Friedrich Gauß als Namensgeber]]

Winkel in der bernoullischen Lemniskate

Winkel an der Lemniskate von Bernoulli

Auf den Mathematiker Gerhard Christoph Hermann Vechtmann geht eine Winkelbeziehung in der bernoullischen Lemniskate zurück, welche dem italienischen Mathematikhistoriker Gino Loria zufolge als sehr bemerkenswert anzusehen ist. Vechtmann hat diese in seiner Dissertation im Jahre 1843 vorgestellt.

Darstellung der Winkelbeziehung

Sie lässt sich angeben wie folgt:

Gegeben sei in der euklidischen Ebene eine bernoullische Lemniskate ${\mathfrak {L}}$ mit den beiden definierenden Brennpunkten $F_{1}$ und $F_{2}$ und dem Zentrum $O$.

Weiter gegeben sei ein Punkt $P\in {\mathfrak {L}}$, der nicht auf der Verbindungsgeraden $g$ durch $F_{1}$ und $F_{2}$ gelegen sei.

Die Normale $n_{P}$ zu ${\mathfrak {L}}$ im Punkte $P$ schneide $g$ in dem Punkt $R$.

Dann gilt:

Der beim Punkt $R$ am Dreieck $POR$ anliegende Außenwinkel ist dreimal so groß wie der beim Zentrum $O$ gelegene Innenwinkel.

Anmerkungen

Bild 1: Konstruktion der Tangente $t$ durch Punkt $P$
Verbinde Punkt $P$ mit $O$ und bestimme $\angle {\;2\alpha }$ mithilfe des Abstandes $|AB|$ am Scheitel $P.$ Die Normale $n$ zur Lemniskate ${\mathfrak {L}}$ schneidet ${\overline {OF_{2}}}$ in $R.$ Die abschließende Tangente $t$ ist eine Senkrechte zu $n$.

Bild 2: Lemniskate von Bernoulli
Wie das Beispiel zeigt, ist bei gegebener Winkelweite $3\alpha$ die Winkelweite am Scheitel $P$ ungleich $2\alpha$.

• Die genannte Winkelbeziehung ist nach dem Außenwinkelsatz gleichbedeutend damit, dass der zugehörige Innenwinkel beim Punkt $P$ doppelt so groß ist wie besagter Zentrumswinkel.

• Laut Gino Loria ist die Winkelbeziehung insofern bemerkenswert (Bild 1), als sie nicht nur eine leichte Konstruktionsmethode für die Normale in einem beliebigen Punkte der Lemniskate liefert (und daher auch für die Tangente), sondern auch beweist, daß das Problem der Dreiteilung des Winkels der Hauptsache nach identisch mit dem ist, an eine Lemniskate eine Normale bzw. eine Tangente von gegebener Richtung zu ziehen.

• Auch wenn es im ersten Moment den Anschein hat, die bernoullische Lemniskate wäre für die Dreiteilung eines beliebigen Winkels geeignet, dem ist nicht so (Bild 2). Bei einer vorgegebenen Winkelweite $3\alpha$ ist die Winkelweite am Scheitel $P$ ungleich $2\alpha$ und damit auch die Richtung des Winkelschenkels ${\overline {PC}}$ bestimmt. Dies bedeutet, würde man eine Senkrechte auf den Winkelschenkel ${\overline {PC}}$ durch $P$ errichten, würde diese die Lemniskate ${\mathfrak {L}}$ zweimal schneiden; einmal in $P$ und einmal z. B. in einem Punkt $P_{2}$. Wie im vorherigen Absatz bereits beschrieben, besteht konstruktiv keine Möglichkeit an eine Lemniskate „...eine Tangente von gegebener Richtung zu ziehen.“ Der Scheitel $P$ mit der Winkelweite $2\alpha$ ist demzufolge bei einer gegebenen Winkelweite $3\alpha \neq 90^{\circ }$ nicht darstellbar.

Beweis nach Loria

Der von Loria gegebene Beweis beruht wesentlich auf den beiden Gleichungen der Lemniskate und auf den Additionstheoremen für Vielfachwinkel von Sinus und Kosinus und geht wie folgt:

Es wird die Normalform der Lemniskate als gegeben angenommen, bei der die Gerade $g$ mit der Abszissenachse zusammenfällt und das Zentrum mit dem Koordinatenursprung.

Die definierende Gleichung von ${\mathfrak {L}}$ in kartesischen Koordinaten lässt sich dann schreiben als

(I) $(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=0$

und die in Polarkoordinaten in der Form

(II) $r^{2}=2a^{2}\cos(2\alpha )$

mit $\alpha$ als Polarwinkel und $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ als Abstand zum Koordinatenursprung.

Aus Symmetriegründen genügt es, den Satz für denjenigen Teil der Lemniskate, welcher im ersten Quadranten gelegen ist, also für $x\geq y>0$ und $r>0\;,\;0<\alpha <{\frac {\pi }{4}}$ zu zeigen, und es ist weiterhin ausreichend, den Nachweis der behaupteten Gleichung allein zu führen für $\alpha \neq {\frac {\pi }{6}}$  , also unter Ausschluss des dortigen Hochpunktes, bei dem die Tangente an die Lemniskate parallel und die zugehörige Normale senkrecht zur Abszissenachse verlaufen. Denn für diesen Ausnahmefall folgt die Gleichung dann aus Stetigkeitsgründen.

Es sei nun besagter Außenwinkel mit $\psi$ bezeichnet.

Indem man in Rechnung stellt, dass einerseits im ersten Quadranten besagter Zentrumswinkel und der Polarwinkel des Punktes bei der Darstellung in Polarkoordinaten zusammenfallen und dass andererseits die reelle Tangensfunktion im punktierten Intervall $]0\;,\;\pi [\setminus \{{\frac {\pi }{2}}\}$ injektiv ist, sieht man, dass allein die Gleichung

$\tan(\psi )=\tan(3\alpha )$

zu zeigen ist.

Der Beweis dieser Gleichung verläuft nun in mehreren Rechenschritten:

Zunächst erhält man vermöge impliziter Differentiation aus (I)

$(x^{2}+y^{2})(x+yy^{'})-a^{2}(x-yy^{'})=0$

und daraus

$y^{'}={\frac {a^{2}-(x^{2}+y^{2})}{a^{2}+(x^{2}+y^{2})}}\cdot {\frac {x}{y}}$  .

Nun ist

$\tan(\psi )=-{\frac {1}{y^{'}}}$

und wegen $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ und ${\frac {y}{x}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$ ergibt sich dann die Gleichung

$\tan(\psi )=-{\frac {a^{2}+r^{2}}{a^{2}-r^{2}}}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$  .

und wegen (II) weiter

$\tan(\psi )=-{\frac {a^{2}+2a^{2}\cos(2\alpha )}{a^{2}-2a^{2}\cos(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=-{\frac {1+2\cos(2\alpha )}{1-2\cos(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {1+2\cos(2\alpha )}{2\cos(2\alpha )-1}}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$  .

Da man zugleich $\cos(2\alpha )=1-2{\sin }^{2}(\alpha )=2{\cos }^{2}(\alpha )-1$ hat, folgt weiter

$\tan(\psi )={\frac {3-4{\sin }^{2}(\alpha )}{4{\cos }^{2}(\alpha )-3}}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {3\sin \alpha -4{\sin }^{3}(\alpha )}{4{\cos }^{3}(\alpha )-3\cos \alpha }}$  .

Schließlich ist dann wegen der erwähnten Vielfachwinkelgleichungen

$\tan(\psi )={\frac {\sin(3\alpha )}{\cos(3\alpha )}}=\tan(3\alpha )$

und alles ist gezeigt.

Literatur

• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung I (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 61). 3., unveränderte Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1968, S. 484–485 (MR0238635). 
• Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History (= Undergraduate Texts in Mathematics. Readings in Mathematics). Springer Verlag, Heidelberg / New York / Dordrecht / London 2012, ISBN 978-3-642-29162-3, S. 207–208, doi:10.1007/978-3-642-29163-0 (MR2918594 Google books.google.de). 
• Gino Loria: Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven: Theorie und Geschichte. Erster Band: Die algebraischen Kurven (= B. G. Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen. V,1). 2. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Leipzig / Berlin 1910 (Ausgabe 1902 auf archive.org). 
• G. C. H. Vechtmann: Diss. inaug. phil. de curvis lemniscatis. Göttingen 1843 (books.google.de). 

Einzelnachweise und Fußnoten

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KKKategorie:Analytische Geometrie]]