Portal:Mathematik/Qualitätssicherung/Archiv/2014/August

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Wie wird ein Archiv angelegt?

Satz von Erdös

Das benötigt mindestens eine Begriffsklärungsseite, wobei auch erst noch zu klären wäre, ob sich diese Bezeichnung in neuerer Literatur überhaupt findet. G (Außerdem hat das Lemma den falschen Umlaut, man müßte es also auf jeden Fall verschieben.)--Kamsa Hapnida (Diskussion) 19:09, 16. Aug. 2014 (CEST)

Wenn es weiter nichts gibt: Solche Kritikpunkte gehören lokal in die Diskussionsseite des Artikels. Dafür ein QS zu setzen ist überzogen. Ich habe das QS-Kennzeichen also wieder gelöscht. Nebenbei: Das Problem mit dem "ö" gibt es allgemein, siehe etwa Satz von König. Insofern ist das eigentlich nicht mein Problem. --Schojoha (Diskussion) 15:45, 19. Aug. 2014 (CEST)

Das interpretiere ich mal als Zustimmung. Wenn auch sonst kein Widerspruch kommt, richte ich dann mal eine BKS ein und verschiebe den Artikel.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 17:51, 19. Aug. 2014 (CEST)

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Referenzklasse

Auch das benötigt wohl eine Begriffsklärung und auch hier wäre noch zu klären, wie gebräuchlich dieser Name überhaupt ist.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 18:26, 18. Aug. 2014 (CEST)

Die angegebene Quelle kann man bei Google Books einsehen: [1]. Aber gehört habe ich den Begriff noch nie, könnte evtl. ein Synonym für Grundgesamtheit sein. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 19:49, 18. Aug. 2014 (CEST)

Den Verdacht hatte ich auch schon und habe daher die Grundgesamtheit bei "siehe auch" angeführt, vielleicht ist die Referenzklasse weniger Mathe-Sprech als die Grundgesamtheit. --Peter Gröbner (Diskussion) 13:13, 21. Aug. 2014 (CEST)

Die Begriffserläuterung ist ohne Frage dürftig, streng genommen gar nicht vorhanden. Man fragt sich, wer damit was anfangen soll.

Dennoch: Ich denke, der Begriff lässt sich doch als gebräuchlich bezeichnen. Bloß gehört er, soweit ich sehe, zunächst einmal in die Philosophie, hier in die Erkenntnistheorie (vgl. Thomas Grundmann: "Analytische Einführung in die Erkenntnistheorie", de Gruyter, Berlin 2008); vielleicht auch in die Wissenschaftstheorie. Mit Mathematik hat er für mich erst einmal kaum was zu tun.

In dem Buch von Grundmann wird übrigens ausdrücklich das "Referenzklassenproblem" (S. 268 ff) thematisiert. Dazu findet man auch was - nämlich diesen Artikel hier - im englischsprachigen Wikipedia.

Ich setze also zusätzlich die QS-Zuweisung an die Philosophie.

--Schojoha (Diskussion) 22:51, 26. Aug. 2014 (CEST)

Ich habe ein paar Zeilen und weiterführende Einführungsliteratur spendiert. Auf dieser Grundlage kann der Stub gerne noch weiter ausgebaut werden. Jedes jüngere (das Thema wird seit Ayer, Reichenbach etc viel diskutiert) Handbuch zur Wissenschaftstheorie / Philosophie der Statistik / Wahrscheinlichkeit stellt die Thematik und wichtigere Diskussionsbeiträge vor. Gillies 2000 ist der moderne Klassiker zum Thema, dort insb. S. 121ff, falls jemand Lust hat. Vielleicht hat auch jemand aus der Physik-QS Interesse an einem weiteren Ausbau (und der Aufbesserung meiner jetzt sehr ad hoc hingeschluderten Zeilen). Ich selbst habe zu wenig Zeit gerade. ca$e 09:57, 27. Aug. 2014 (CEST)

So ist das sicher ein gültiger Stub (vielen Dank an ca$e!) und sowieso kein echtes Mathematikthema, daher hier erledigt. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 12:43, 9. Sep. 2014 (CEST)

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Borelsche σ-Algebra

Hallo Leute, ich suche nach einem einfachen, intuitiven Beispiel für eine Borelsche sigma-Algebra - am besten mit Bild. Leider helfen die Beispiele für einen nicht vorgebildeten Studenten kaum weiter. Leider ist der Artikel auch noch unbebildert, sodass ich nicht weiß, wie ich anfangen soll mir eine Borel sigma-Algebra vorzustellen :-/ --2003:6A:6C68:9C76:EDE3:1403:8237:41A8 15:51, 28. Aug. 2014 (CEST)

Hmm, habe gerade diesen Satz gefunden: "Da im Allgemeinen die Elemente einer σ-Algebra, wie beispielsweise bei der borelschen σ-Algebra, nicht explizit angegeben werden können, sondern nur ein Erzeuger bekannt ist, muss für solche Beweise häufig indirekt vorgegangen werden" Zitat Prinzip der guten Mengen. Wie wäre es das unter borelscher Sigma-Algebra ebenso deutlich zu sagen? --2003:6A:6C68:9C76:EDE3:1403:8237:41A8 16:44, 28. Aug. 2014 (CEST)

Hallo! Ja, mit anschaulicher Vorstellung oder gar Bildern wird das nichts. Salopp gesagt reicht es eigentlich für den Alltag zu wissen, dass alle „vernünftigen“ Mengen, die einem so über den Weg laufen, zur borelschen σ-Algebra gehören. Es gibt zwar Teilmengen der reellen Zahlen, die nicht borelsch sind, aber die sind so kompliziert, dass sie für die Anwendung keine Rolle spielen. Im Abschnitt Maßproblem#Unlösbarkeit des Maßproblems wird ein Beispiel definiert. Bei einer Formulierung im Artikel muss man allerdings etwas aufpassen, weil es schon so eine Art Konstruktion der borelschen σ-Algebra gibt, siehe Borel-Hierarchie, die aber ich sag mal „nix für Anfänger“ ist und bei Anwendungen eigentlich auch keine große Rolle spielt. Aber da kann vielleicht z.B. Benutzer: Chricho mehr dazu sagen, ich kenne mich da nicht aus. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 18:32, 28. Aug. 2014 (CEST)

Soweit ich weiß benutzen alle (bekannten) Konstruktionen NICHT-MEßBARER MENGEN das Auswahlaxiom, es gibt also gar keine explizit beschriebenen Beispiele.

Ein weiteres bekanntes Gegenbeispiel (neben dem im Artikel angegeben) erhält man mit dem Banach-Tarski-Paradox, das aber ebenfalls das Auswahlaxiom benötigt.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 03:43, 29. Aug. 2014 (CEST)

Könnte man dazu einen Satz wie den folgenden einbauen? Ich habe da nämlich ziemlich lange rumüberlegt mir ein möglichst einfaches Beispiel zu überlegen, aber bin auf nichts gekommen :/ "Im Allgemeinen lassen sich die Elemente einer borelschen σ-Algebra nicht explizit angegeben, da nur ein Erzeuger bekannt ist."--2003:6A:6C68:9C4C:91C5:BB17:F950:578F 10:25, 29. Aug. 2014 (CEST)

Das ist allerings nicht richtig, den einzelne Elemente lassen sich oft explizit (und einfach) angeben (z.B. bezogen auf $\mathbb {R}$ eine relle Zahl oder ein Intervall). Was sich allerdings nicht angeben lässt ist eine einfache, handliche Beschreibung aller Elemente einer borelschen σ-Algebra.--Kmhkmh (Diskussion) 11:54, 29. Aug. 2014 (CEST)

Es gibt ja im Abschnitt über endlich-dimensionale Vektorräume die Formulierung "Teilmengen, die nicht zur borelschen σ-Algebra gehören, weisen in der Regel einen intuitiv exotischen Charakter auf", die dem Leser wohl klarmachen soll, dass er kaum Erfolg damit haben wird, selbst nach Gegenbeispielen oder Charakterisierungen zu suchen. Vielleicht sollte man diesen Satz in einen vorhergehenden Abschnitt verschieben, damit ihn der nur an Borelmengen in R interessierte Leser auch findet.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 12:47, 29. Aug. 2014 (CEST)

Man kann auch so vorgehen, sich einfache Topologien "zusammenzubasteln" , um dann einfache Borelmengen zu bekommen, z. B. Topologien auf endlichen Mengen. Was aber auch gehen sollte, jedoch leider nicht ganz anschaulich ist: Man nehme eine Grundmenge Ω und betrachte die Topologie, in der die abgeschlossenen Mengen die höchstens abzählbaren Teilmengen oder das Ω sind. Die zugehörige Borelsche σ-Algebra ist das System der Ω-Teilmengen A mit der Eigenschaft, dass A selbst oder das Komplement Ω-A höchstens abzählbar ist. --Schojoha (Diskussion) 14:36, 29. Aug. 2014 (CEST)

Die borelsche σ-Algebra ist die kleinste σ-Algebra, die die gegebene Topologie enthält. Du musst ausgehend von den offenen Mengen irgendwie dafür sorgen, dass dein Mengensystem abgeschlossen unter Komplementen und abzählbaren Vereinigungen wird. Das kannst du dir vllt. über die Borel-Hierarchie vorstellen: Erst hast du die offenen und die abgeschlossenen Mengen, dann betrachtest du davon abzählbare Schnitte und Vereinigungen und fügst immer weiter Mengen hinzu, die für die Abgeschlossenheit nötig sind. Die neu hinzukommenden Mengen werden dabei bei typischen Räumen immer komplizierter. --Chricho ¹ ² ³ 14:48, 29. Aug. 2014 (CEST)

Der typische Leser dieses Artikels wird sich eher für Borelmengen in den reellen Zahlen oder im R^n interessieren. Wer sich speziell für Mengentheoretische Topologie interessiert, der kennt wahrscheinlich auch die Definition von Borelmengen und braucht den Artikel nicht.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 16:04, 29. Aug. 2014 (CEST)

Ich habe jetzt im Abschnitt über Teilmengen der reellen Zahlen folgenden Absatz ergänzt:

Mit Hilfe des Auswahlaxioms kann man Mengen konstruieren, die nicht Lebesgue-messbar sind und insbesondere keine Borel-Mengen sein können. Auf "natürliche" Weise vorkommende Teilmengen der reelle Zahlen sind aber stets Borel-Mengen und damit Lebesgue-messbar. Das ist der wesentliche Vorteil der Lebesgue-Integration gegenüber Riemannscher Integration.

Der zweite Satz ist natürlich nicht richtig objektivierbar, deshalb auch die Anführungszeichen. Einwände?--Kamsa Hapnida (Diskussion) 04:15, 30. Aug. 2014 (CEST)

Meiner Meinung nach ist das irreführend. Die Existenz von nicht lebesgue-messbaren Mengen hat nur insofern mit der Existenz von Nicht-Borel-Mengen zu tun, als dass Borel-Mengen immer Lebesgue-messbar sind. Es ist aber wesentlich einfacher, Mengen zu finden, die keine Borel-Mengen sind, also nicht-lebesgue-messbare Mengen zu finden. Zum Beispiel sind analytische Mengen typischerweise nicht Borel, aber Lebesgue-messbar. Die Existenz von Nicht-Borel-Mengen ergibt sich schon aus Mächtigkeitsüberlegungen. Die Mächtigkeit der Menge der Borelmengen in $\mathbb {R}$ ist gleich der Mächtigkeit von $\mathbb {R}$ vgl. [2], während die Menge aller Teilmengen von $\mathbb {R}$ von größerer Mächtigkeit ist.

PS: Vielleicht sollte wir die Diskussion auf die Diskussionsseite verlegen--Digamma (Diskussion) 10:26, 2. Sep. 2014 (CEST)

Es ist aber jedenfalls nicht möglich, ohne Auswahlaxiom Nicht-Borelmengen zu konstruieren, siehe http://mathoverflow.net/questions/32720/non-borel-sets-without-axiom-of-choice : man kann zeigen, dass die Zermelo-Frenkel-Mengenlehre ohne Auswahlaxiom mit der Annahme der Nichtexistenz von Nicht-Borelmengen kompatibel ist. --Kamsa Hapnida (Diskussion) 11:02, 2. Sep. 2014 (CEST)

Ja, es ist mit ZF kompatibel, dass $\mathbb {R}$ abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist. In so einer Situation lässt sich überhaupt keine Maßtheorie betreiben. Haben wir dagegen Dependent Choice, sieht die Sache schon ganz anders aus, wir können zeigen, dass die Borel-Hierarchie nicht kollabiert und mühelos eine analytische Menge, die keine Borel-Menge ist, konstruieren. --Chricho ¹ ² ³ 06:29, 5. Sep. 2014 (CEST)

Ich vermute, dass man unter den von Chricho genannten Bedingungen immer noch - zumindest in einem abstrakten Sinne - Maßtheorie treiben könnte. Allerdings wäre dies wohl eine, die nicht mit unseren aus der Elementargeometrie herrührenden Raumvorstellungen korrespondiert - immer vorausgesetzt, dass man dreidimensionalen Raum mit dem $\mathbb {R} ^{3}$ zusammenfallen lässt. Ich würde nicht grundsätzlich ausschließen wollen, dass man dabei Interessantes herausfindet. [Kann aber auch sein, dass ich gerade einen Denkfehler mache! :-) ]

--Schojoha (Diskussion) 19:44, 7. Sep. 2014 (CEST)

Es wird eben kompliziert, Analysis zu treiben. Bei konvergenten Teilfolgen braucht man schnell mal eine Form des Auswahlaxioms. Ganz konkret kann ich aber auch nicht werden, dass nun wirklich ein konkreter Satz der Maßtheorie nicht gelten würde. Ich denke, es ist erledigt. --Chricho ¹ ² ³ 03:00, 29. Sep. 2014 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Chricho ¹ ² ³ 03:00, 29. Sep. 2014 (CEST)