Portal:Mathematik/Qualitätssicherung/Archiv/2012/August

Dies ist ein Archiv der Qualitätssicherung des Portals Mathematik.

Archiv

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Wie wird ein Archiv angelegt?

Fixed- und Random-Effects-Modelle

• Die Einleitung geht überhaupt nicht auf das Thema ein, sondern beschreib verschwurbelt, was Schätzer und statistische Daten sind. "Fixed- und Random-Effects-Modelle sind mathematische Annahmen, die an statistische Daten gestellt werden." -> soso... und: "Werden jedoch relevante Größen nicht in die Regression mit aufgenommen, so können Endogenität, Heteroskedastizität und Autokorrelation entstehen, wodurch die Kleinste-Quadrat-Schätzung ihre wünschenswerten Eigenschaften verliert. Im Zusammenhang mit Panel- und Mehrebenendaten können jedoch unter den Annahmen der Fixed- und Random-Effects-Modelle weitere Schätzer hergeleitet werden, die diese Probleme lösen." -> nein, der Ziel eines Panelmodells ist doch was ganz anderes.
• Warum neben fixed und random nicht between-Schätzer beschrieben werden bleibt mir unklar. Überhaupt würde ich das ganze zu einem zu erstellenden Artikel Panelmodell verschieben. Die Überlappung mit Paneldatenanalyse ist zudem riesig. --Zulu55 (Diskussion) 16:09, 1. Aug. 2012 (CEST)

Ich verstehe nicht ganz, warum du deine Kritik nicht einfach auf Diskussion:Fixed- und Random-Effects-Modelle darlegst. Die Einleitung wurde dort vor nicht allzu langer Zeit ausführlich diskutiert und auch die Problematik mit der Redundanz zu Paneldatenanalyse wurde dort bereits angesprochen. Die Hauptautoren SEM und Friedrich Graf sind aktiv und stehen für eine Diskussion sicher weiter zur Verfügung. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:30, 1. Aug. 2012 (CEST)

Aus dem Grund warum hier Artikel generell eingetragen werden. Sehe die Qualitätsstandards 1 (Einleitung) und 2 (Definition) nicht erfüllt. Und wegen des Mehr-Augen-Prinzips. Wofür ist die Seite hier denn sonst da? --Zulu55 (Diskussion) 12:04, 2. Aug. 2012 (CEST)

Nun, der Artikel wurde von dir infolge von

• Portal:Mathematik/Qualitätssicherung/Archiv/2011/März#random effects = random intercepts = random slopes?

angelegt. Dann war er hier in der QS

• Portal:Mathematik/Qualitätssicherung/Archiv/2011/September#Fixed-effects- und Random-effects-Modell

und wurde daraufhin gründlich überarbeitet und entlassen. Dann gab es ein längeres Review

• Diskussion:Fixed- und Random-Effects-Modelle#Review-Diskussion (6. Dezember 2011 - 10. Januar 2012)

mit guter Beteiligung. Ich kann mir nicht vorstellen, was die QS hier noch leisten kann/soll. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:20, 2. Aug. 2012 (CEST)

Ich empfinde es auch als etwas merkwürdig und schlechten Stil, den Artikel hier einfach ohne Rücksprache auf der Disk oder sonstwo in die QS zu stecken. Die Einleitung ist nicht perfekt, aber der Grat zwischen Laienverständlichkeit und den Anforderungen von WP:WSIGA in Bezug auf die Einleitung ist gerade hier nach meinem Empfinden recht schwierig und hat schon für einige Diskussionen gesorgt. Der Between-Schätzer wird übrigens sehr wohl erwähnt, im Abschnitt "Weitere konsistente Schätzer im Random-Effects-Modell" wird seine Konsistenz erklärt. Über eine Erweiterung des Artikels und eine Verschmelzung mit Panelmodell könnte man nachdenken, das ist aber nichts, was sich einfach so im Handumdrehen bewältigen ließe, und ich sehe nicht, wie das eine Aufgabe für die QS sein sollte. Etwas verwunderte Grüße,--SEM (Diskussion) 14:33, 2. Aug. 2012 (CEST)

Das Review kannte ich noch nicht. Nichts für ungut. Dann verschieb ich das hier mal auf die Artikeldiskussionsseite. --Zulu55 (Diskussion) 15:10, 2. Aug. 2012 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Zulu55 (Diskussion) 15:10, 2. Aug. 2012 (CEST)

Wohlfahrtstheoreme

Hoi zusammen, ersuche ein Wenig um Nachbarschaftshilfe. Die ökonomische Literatur ist sich mal wieder äußerst uneins, was sie da teilweise überhaupt für Objekte behandelt. Konkret geht es zum Beispiel um ein Wettbewerbsgleichgewicht, das sich aus folgenden Bestandteilen zusammensetzt: 1) einem Vektor $\mathbf {x} ^{i*}\in \mathbb {R} ^{n}$ für alle i aus einer Indexmenge der Konsumenten, 2) einem Vektor $\mathbf {y} ^{j*}\in \mathbb {R} ^{n}$ für alle j aus einer Indexmenge der Produzenten und 3) einem Preisvektor $\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}$. Dabei kann man die $\mathbf {x} ^{i*}$ und $\mathbf {y} ^{j*}$ wieder in einen Vektor fassen, und zwar in $\mathbf {x} ^{*}=(\mathbf {x} ^{1*},\ldots ,\mathbf {x} ^{I*})\in \mathbb {R} ^{I}$ bzw. $\mathbf {y} ^{*}=(\mathbf {y} ^{1*},\ldots ,\mathbf {y} ^{J*})\in \mathbb {R} ^{J}$.

Das „Ding“, das daraus entsteht, hat nun allerlei Formen (Bezeichnungen von mir zur Übersichtlichkeit vereinheitlicht):

1. eine „Familie“ $\left\{\mathbf {p} ,\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right\}$
2. ein „Vektor“ $\left(\mathbf {p} ,\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}}\right)$
3. ein „Vektor“ $\left(\mathbf {x} ^{*},\mathbf {y} ^{*},\mathbf {p} \right)$
4. ein „Vektor“ $\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right),\left(\mathbf {y} ^{j*}\right),\mathbf {p} \right]$
5. eine „Familie“ $\left(\left(\mathbf {x} ^{i*}\right),\left(\mathbf {y} ^{j*}\right),\mathbf {p} \right)_{i\in {\mathcal {I}},j\in {\mathcal {J}}}$
6. ein „Paar“ (pair) $(\mathbf {x} ^{*},\mathbf {y} ^{*})$
7. ein nicht näher bezeichnetes $\left(\left\{\mathbf {x} ^{i*}\right\}_{i=1}^{I},\left\{\mathbf {y} ^{i*}\right\}_{j=1}^{J},\mathbf {p} \right)$

Kann mir jemand erklären, a) warum 1. eine Familie sein soll (ist für mich eine gewöhnliche Mengendefinition, wobei die Menge u.a. aus Familien bestet), b) ob aus der Schreibweise in 4. hervorgeht, dass z.b. $\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)$ die Familie der x^i* bezeichnet, c) warum 5. eine Familie sein soll, d) ob 7. ein Vektor ist und ob es sinnvoll ist, z.b. die x^i* als Mengen aufzufassen, wenn man sicherstellen will, dass wirklich für jeden Konsumenten der individuelle Konsumvektor in der Gleichgewichtsdarstellung enthalten ist (IMHO ist das ein Problem, denn es dürfen nicht einfach Konsumvektoren fehlen, nur weil sie denen von anderen Konsumenten gleich sind), e) ob man „meine“ Version $\left[\left(\mathbf {x} ^{i*}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j*}\right)_{j\in {\mathcal {J}}},\mathbf {p} \right]$ guten Gewissens als Gleichgewichtsvektor verwenden kann.

Wäre super, wenn hier jemand helfen könnte. Verstehen tut man’s ja, aber wäre halt schön, wenn es auch formal korrekt ist. Grüße, —Pill (Kontakt) 15:05, 3. Aug. 2012 (CEST)

Zunächst einmal kann man für das Verständnis alle Sternchen weglassen, denn hier ist $\mathbf {x} ^{\ast }$ nur eine spezielle Markierung von $\mathbf {x}$, ähnlich wie ${\bar {\mathbf {x} }}$, ${\hat {\mathbf {x} }}$ oder ${\tilde {\mathbf {x} }}$.

• eine Familie mit endlich vielen Elementen nennt man Tupel (du kannst sie natürlich auch Familie nennen, aber Tupel ist dann etwas klarer)
• ein Tupel, mit dem man rechnen kann, nennt man Vektor (gaaanz vereinfacht gesprochen :-) )
• $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ist ein (Zeilen-)Vektor der Länge $n$ oder $n$-Tupel
• $\mathbf {x} ^{i}=(x_{1}^{i},\ldots ,x_{n}^{i})\in \mathbb {R} ^{n}$ ist ebenfalls ein Vektor der Länge $n$, er hat nur den Index $i$
• $(\mathbf {x} ^{1},\ldots ,\mathbf {x} ^{I})\in (\mathbb {R} ^{n})^{I}$ ist formal ein $I$-Tupel bestehend aus einzelnen Vektoren der Länge $n$, ausgeschrieben $((x_{1}^{1},\ldots ,x_{n}^{1}),\ldots ,(x_{1}^{I},\ldots ,x_{n}^{I}))$.

• einen solchen Vektor von Vektoren kann man als ganz langen Zeilenvektor interpretieren und man schreibt dann $(\mathbf {x} ^{1},\ldots ,\mathbf {x} ^{I})\in \mathbb {R} ^{n\cdot I}$
• wenn die einzelnen Vektoren Spaltenvektoren sind, interpretiert man einen solchen Vektor von Vektoren als Matrix und man schreibt $(\mathbf {x} ^{1},\ldots ,\mathbf {x} ^{I})\in \mathbb {R} ^{n\times I}$ (das ist aber hier nicht der Fall)

• $(\mathbf {x} ^{i})_{i\in {\mathcal {I}}}$, $(\mathbf {x} ^{i})_{i\in \{1,\ldots ,I\}}$, $(\mathbf {x} ^{i})_{i=1,\ldots ,I}$ und $(\mathbf {x} ^{i})_{i=1}^{I}$ sind nur andere Schreibweisen für das $I$-Tupel $(\mathbf {x} ^{1},\ldots ,\mathbf {x} ^{I})$; wenn klar ist, was die Indexmengen sind, lässt man sie auch gerne weg

Nun zu deinen Problemfällen:

1. $\left\{\mathbf {p} ,\left(\mathbf {x} ^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right\}$ ist eine dreielementige Menge bestehend aus einem $n$-Vektor, einem $I$-Tupel von $n$-Vektoren und einem $J$-Tupel von $n$-Vektoren. Ein solches System (hier eine Ökonomie) fasst man aber normalerweise nicht als Menge, sondern als 3-Tupel auf (damit die Reihenfolge nicht verloren geht, falls z.B. $I=J$ ist) und schreibt stattdessen $\left(\mathbf {p} ,\left(\mathbf {x} ^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}},\left(\mathbf {y} ^{j}\right)_{j\in {\mathcal {J}}}\right)$
2. $\left(\mathbf {p} ,\left(\mathbf {x} ^{i}\right)_{i\in {\mathcal {I}}}\right)$ ist formal ein 2-Tupel, das man als Vektor im $\mathbb {R} ^{n\cdot (1+I)}$ auffassen kann
3. $\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {p} \right)$ ist formal ein 3-Tupel, das man als Vektor im $\mathbb {R} ^{n\cdot (I+J+1)}$ auffassen kann
4. $\left[\left(\mathbf {x} ^{i}\right),\left(\mathbf {y} ^{j}\right),\mathbf {p} \right]$ ist das gleiche Tupel wie eins drüber, auch wenn man hier normalerweise runde statt eckige Klammern verwendet
5. $\left(\left(\mathbf {x} ^{i}\right),\left(\mathbf {y} ^{j}\right),\mathbf {p} \right)_{i\in {\mathcal {I}},j\in {\mathcal {J}}}$ ist formal eine Matrix der Größe $I\times J$ bei der jedes Element ein 3-Tupel der Form $\left(\mathbf {x} ^{i},\mathbf {y} ^{j},\mathbf {p} \right)$ ist. Ich vermute aber, das ist nicht gemeint, sondern eher das gleiche Tupel wie drüber.
6. $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ ist ein 2-Tupel (oder Paar), das man als Vektor im $\mathbb {R} ^{n\cdot (I+J)}$ auffassen kann
7. $\left(\left(\mathbf {x} ^{i}\right)_{i=1}^{I},\left(\mathbf {y} ^{i}\right)_{j=1}^{J},\mathbf {p} \right)$ wäre das gleiche 3-Tupel wie unter 3. und 4, mit geschweiften Klammern sind das aber Mengen und keine Tupel und damit was anderes

Ich hoffe, das hilft erstmal weiter. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:38, 3. Aug. 2012 (CEST)

(nach bk:) hoi quartl, danke dir. das meiste war klar (mit den konsum- und produktionsplänen darf ich mich täglich befassen ;)), aber ich entnehme hinsichtlich meiner fragen, dass a) das in der tat nur eine gewöhnliche mengendefinition ist, dass b) eine allgemeinverständliche kurzschreibweise ist, dass c) doch eher eine matrix definiert denn das was gemeint ist und dass e) auch für mathematiker kein problem macht. vielen dank dafür. d) bzw. deine erklärung von 7. kann ich nicht ganz verstehen. das macht im spezifalfall keine schwierigkeiten, aber wenn $\mathbf {x} ^{1}=\mathbf {x} ^{2}$, dann fiele hier doch nach meinem verständnis etwas aus der definition raus, was nicht rausfallen darf. ein gleichgewicht (keine ökonomie übrigens, das würde nicht ausreichen) muss aber das $\mathbf {x} ^{i}$ für alle i festlegen. und für mich ist $\left\{\mathbf {x} ^{i}\right\}_{i=1}^{I}$ eine menge, kein vektor, sodass dieses problem besteht. was meinst du? gruß, —Pill (Kontakt) 17:04, 3. Aug. 2012 (CEST)

ah, du hast es ja schon korrigiert. gut, verwirrung beseitigt. herzlichen dank nocmal. —Pill (Kontakt) 17:07, 3. Aug. 2012 (CEST)

Plus noch die Gefahr, dass in der anglophonen Literatur Tupel (und nicht Mengen) ueber diskreten Indexmengen verwirrenderweise manchmal doch mit geschweiften Mengenklammern geschrieben werden. --Erzbischof 17:21, 3. Aug. 2012 (CEST)

ach, ist dem so? das könnte freilich die notation bei 1. erklären. gruß, —Pill (Kontakt) 17:25, 3. Aug. 2012 (CEST)

Fuer Folgen mit geschweiften Klammern gibt es zahlreiche Beispiele, fuer Tupel habe ich keins eben gefunden, aber ich wuerde zumindest damit rechnen, dass es mal passiert. --Erzbischof 17:34, 3. Aug. 2012 (CEST)

Am wenigsten missverständlich ist es, wenn du konsistent Tupel mit runden Klammern und Mengen mit geschweiften schreibst und dazu schreibst, was es ist: eine Ökonomie ist ein Tupel $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {p} )$... . Für die Lesbarkeit sind oft weniger Indizes besser, deswegen fasst man ja Zahlen zu Vektoren zusammen und man lässt die explizite Angabe der Indexmengen weg, wenn sie ohnehin immer die gleichen sind. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:21, 3. Aug. 2012 (CEST)

jop, danke, denke so wie es ist ist es nun verständlich. das tupel ist übrigens ein gleichgewicht, desalb auch die sternchen :). grüße, —Pill (Kontakt) 18:33, 3. Aug. 2012 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Quartl (Diskussion) 09:26, 4. Aug. 2012 (CEST)

Grenzzyklus

Moin zusammen! Erschreckend, was man manchmal so als fehlend findet ;-) Ich (Redaktion Physik) habe diesen Artikel neu angelegt und hoffe ich kann hier noch etwas Aufmerksamkeit darauf ziehen (für verbesserungen etz.). Ein entsprechnder Hinweis ist auch in der QS:Physik gelandet. Bitte gegenlesen und präzisieren! Evtl. in der QS-Physik diskutieren, damit alles zusammenbleibt. --Jkrieger (Diskussion) 10:53, 5. Aug. 2012 (CEST)

• Der Artikel wird in der Physik-QS diskutiert. Danke für den Hinweis, --Quartl (Diskussion) 12:13, 5. Aug. 2012 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Diskussion) 12:11, 8. Aug. 2012 (CEST)

Sphäre (Mathematik)

Pathologische Metriken

Betrachtet man im $\mathbb {R} ^{n}$ zwei disjunkte offene Vollkugeln ${D^{n}}_{1}$ und ${D^{n}}_{2}$ vom Radius $R=1$ und bildet $X={D^{n}}_{1}\cup {D^{n}}_{2}$, so erhält man einen Unterraum $X$ des $\mathbb {R} ^{n}$, welcher gleich ist der topologischen Summe der beiden Vollkugeln.

Auf $X$ lässt sich eine Metrik $d\colon \,X\times X\to [0,\infty [$ definieren wie folgt:

$d(x_{1},x_{2}):$ = dem euklidischen Abstand der beiden Punkte, falls diese in derselben Vollkugel liegen

$d(x_{1},x_{2}):=2$ sonst

Die von dieser Metrik $d\colon \,X\times X\to [0,\infty [$ erzeugte Topologie ist gleich der vom $\mathbb {R} ^{n}$ herrührenden Unterraumtopologie.

Diese Metrik ist nun als pathologische Metrik einzustufen insofern, als sie die übliche von der Geometrie herkommmende Vorstellung von Sphärenbildeung unterläuft.

Einerseits nämlich für jeden Punkt $x_{0}\in X$ gilt , dass die 2-Sphäre $S_{2}(x_{0})=\{x\in X:d(x,x_{0})=2\}$ übereinstimmt mit derjenigen Vollkugel ${D^{n}}_{j}$, welche $x_{0}\not \in {D^{n}}_{j}$ erfüllt.

Andererseits fällt die zugehörige abgeschlossenen Vollkugel $B_{2}(x_{0})=\{x\in X:d(x,x_{0})\leq 2\}$ vom Radius $R=2$ mit dem gesamten Raum $X={D^{n}}_{1}\cup {D^{n}}_{2}$ zusammen. Hier gilt jedoch $\partial X={\overline {X}}\setminus X^{\circ }=X\setminus X=\emptyset$.

Folglich ist hier $S_{2}(x_{0})\neq \partial {B_{2}(x_{0})}$. Schojoha (Diskussion) 23:06, 10. Aug. 2012 (CEST)

Nachtrag: Wie ich gerade sehe, habe ich oben bei der Definition von $d(x_{1},x_{2})$ doch noch einen Bug geschossen (wobei ich mal annehme, dass durch den Nachsatz klar war, wie ich es gehen sollte). Ich habe das korrigiert. Alles Weitere: S. u.! Schojoha (Diskussion) 19:27, 12. Aug. 2012 (CEST)

Wär gut gewesen, kurz zu sagen, worum es geht… Also es geht um die Aussage, dass die Sphäre der Rand der Vollkugel sei. Das ist in der Tat in allgemeinen metrischen Räumen nicht richtig. Kann man aber viel einfacher haben. Man kann irgendeinen nichttrivialen, kompakten metrischen Raum nehmen. Dann gibts von einem Punkt aus einen anderen mit maximalem Abstand, die Sphäre zu diesem Abstand ist dann nichtleer, die Vollkugel ist dagegen der ganze Raum und hat leeren Rand. Z. B. der zweielementige metrische Raum, das Einheitsintervall oder eine beliebige Vollkugel mit der üblichen Metrik. --Chricho ¹ ² ³ 23:18, 10. Aug. 2012 (CEST)

In Einheitskugel ist es m.E. richtig: dort wird die Einheitssphäre als Rand der Einheitskugel nur in normierten Räumen definiert. Ansonsten geht es in dem Bereich, was Definitionen und Notationen betrifft, munter durcheinander: Kugel – Sphäre (Mathematik), Einheitskugel – Einheitssphäre, Einheitskreis. Siehe auch Diskussion:Normierter Raum#Geschichte. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:38, 11. Aug. 2012 (CEST)

Möglicherweise sollte obiges ein Gegenbeispiel zu

• Dementsprechend schreibt man oft auch $\partial B_{X}$ für $S_{X}$

sein. Das Problem entsteht daraus, dass hier auch metrische Sphären reingenommen werden. imho sollten die raus aus dem Artikel das macht das ganze eher unübersichtlich. mE werden die doch auch nirgendwo als mathematische Objekte untersucht, oder irre ich mich da? Aber letztlich ist mir nicht genau klar, was schohoja mit seinem Beispiel zeigen will.--Frogfol (Diskussion) 11:58, 11. Aug. 2012 (CEST)

Hm, ich wüsste nichts, wo die benutzt werden. Habe auf die Schnelle auch nichts gefunden, wo die Sphäre nicht zumindest homöomorph zu einer in einem metrischen Vektorraum gewesen wäre. Auf der anderen Seite weiß jeder Mathematiker, was eine Sphäre in einem metrischen Raum sein soll, also vllt. doch erwähnen? --Chricho ¹ ² ³ 13:41, 11. Aug. 2012 (CEST)

Lieber nicht erwähnen, das bringt mE Durcheinander. Wie gesagt, als mathematische Objekte gibt es die nicht. Im weiteren Verlauf geht es doch um topologische und differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Damit haben metrische Sphären nix zu tun, die können ja ziemlich wild aussehen. Lieber raus, und dann noch genauer zwischen differenzierbaren und topologischen Strukturen unterscheiden, bzw. das später kommende präzisieren.--Frogfol (Diskussion) 13:48, 11. Aug. 2012 (CEST)

für mich unverständlich

• 1.Man erhält eine topologische n-Sphäre, indem man die Ränder zweier n-Kugeln orientierungsumkehrend miteinander verklebt.
• 2.Ebenso entsteht sie durch Zusammenkleben des Randes einer (n-1)-dimensionalen abgeschlossenen Vollkugel

1. Der Rand einer n-Kugel ist doch n-1 dimensional, und der Rand ist ja schon eine Sphäre

2. Die Sphäre ist doch schon der Rand

Ich hab den Eindruck, dass man hier Karten angeben will bzw. die Sphäre intrinsich definieren will, aber so richtig klar find ich das nicht.--Frogfol (Diskussion) 15:11, 11. Aug. 2012 (CEST)

1. Man verklebt die beiden Kugeln an ihren Rändern. Klar? Allerdings weiß ich nicht, wie Orientierung für topologische Mannigfaltigkeiten funktioniert, laut englischer Wikipedia (Link) gibt es da etwas, aber das ist jedenfalls anders als Orientierung (Mathematik).

2. Verzeihung, beim zweiten muss es $n$-dimensional heißen, mein Fehler, habs korrigiert. Du identifizierst eben alle Punkte auf dem Rand miteinander, im Sinne einer Quotiententopologie. --Chricho ¹ ² ³ 22:26, 11. Aug. 2012 (CEST)

1 ähh, klar, in dem Zusammenhang fand ichs irgendwie verwirrend.

2 Auch klar, finds aber noch nicht gut ausgedrückt. Du identifizierst eben alle Punkte auf dem Rand miteinander find ich besser.

Und wie gesagt, kleine Überschrift, sowas wie: (Intrinsische) Konstruktion der Mannigfaltigkeit, ohne auf den umgebenen Raum Bezug zu nehmen, ohne eine direkte Einbettung.--Frogfol (Diskussion) 09:23, 12. Aug. 2012 (CEST)

Die Verklebearten gefallen mir auch nicht wirklich. Ist es nicht besser, zwei Ebenen zu verkleben durch x_i geht auf 1/x'_i? So hat man dann direkt Karten und diffbare Kartenwechsel, anschaulich ist das ganze auch.--Frogfol (Diskussion) 09:26, 12. Aug. 2012 (CEST)

Was willst du verkleben? --Chricho ¹ ² ³ 11:41, 12. Aug. 2012 (CEST)

Ich hatte es nur skizziert. Ich geh davon aus, dass in dem Abschnitt die Sphäre intrinsisch, d.h. ohne Bezugnahme auf den umgebenen Raum als Mannigfaltigkeit dargestellt werden soll. Dazu sind zwei Möglichkeiten angegeben. Die von mir favorisierte dritte ist:

Nimm die Räume $\mathbb {R} ^{n}$ und $\mathbb {R} ^{n'}$ mit den Koordinaten $x_{i}$ bzw $y_{i}$. Betrachte nun die Abbildung von $\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$ nach $\mathbb {R} ^{n'}\setminus \{0\}$, die koordinatenweise definiert wird, indem $x_{i}$ auf ${\frac {1}{y_{i}}}$ geht. Diese Abbildung benutzen wir zum Identifizieren. Der entstandene Raum ist die n-dimensionale Sphäre, der Entstehungsprozess liefert Karten und einen diffbaren Kartenwechsel. (Aus dem $\mathbb {R} ^{2}$ wird die Erdoberfläche ohne Nordpol, aus dem $\mathbb {R} ^{2'}$ die Erdoberfläche ohne Südpol)--Frogfol (Diskussion) 12:27, 12. Aug. 2012 (CEST)

Die Weiterleitung Einheitssphäre

MMn sollte Einheitssphäre eher auf Einheitskugel weiterleiten, damit dieser Haupt-Artikel zu Kugeloberflächen nicht mit normiertem VR-Kram verstopft wird. Sphäre (Mathematik) sollte so allgemein sein wie Fläche (Mathematik). Überignes Einheitskreis hamwa auch. --χario 04:33, 12. Aug. 2012 (CEST)

imho nein. Die Einheitskugel wird in beliebigen (Banach-) Räumen definiert, man benutzt sie, um Aussagen darüber zu machen, wie der umgebene Raum lokal aussieht. Die Sphäre gibt es nur im euklidischen Raum und ist eigenes Studienobjekt vieler geometrische Teildisziplinen. Sie ist ein einfaches Beispiel einer nichttrivialen Mannigfaltigkeit, außerdem gibt es noch die erwähnten Sätze, die zwischen der topologischen und der differenzierbaren Struktur unterscheiden. Der Blickwinkel auf die beiden Objekte ist ein unterschiedlicher. Eine Problematik des jetztigen Artikel ist gerade, dass das nicht beachtet wird und so etwas wie eine metrische Sphäre definiert wird.--Frogfol (Diskussion) 06:06, 12. Aug. 2012 (CEST)

Worum geht es also?

Das genau ist die Frage. Chricho oben hat es angesprochen. Aus dem Artikel wird es nicht ersichtlich. Nun habe ich den Artikel auch nicht initiiert. Aber mir scheint manches fragwürdig. Beispielsweise wird in dem Artikel, soweit ich sehe, unter "Sprechweise und Notation" implizit in den Raum gestellt, dass Konzepte, die wir von der geometrisch fundierten Topologie des Euklidischen Raumes (Skalarprodukt!!) her kennen, ohne Weiters auf allgemeine metrische Räume übertragen werden können. Daran habe ich mich gestoßen. Denn dies ist sicher nicht richtig.

Abgrenzend dazu wollte ich zeigen, dass man sogar Unterräume des euklidischen Raumes - mit der üblichen Unterraumtopologie ! - so metrisieren kann, dass hier unsere alltäglichen Vorstellungen von Abstand nicht mehr greifen. Übrigens bezweifele ich - wie auch schon Frogfol oben, scheint mir - dass hier man die "metrischen Sphären" überhaupt betrachten sollte. Aber wenn man es tut, dann muss man zwischen Sphärenbildung und Randbildung in allgemeinen metrischen Räumen scharf differenzieren.

Zudem finde ich es grundsätzlich fragwürdig, dass unter "Sprechweise und Notation" ganz pauschal Sachverhalte von hoher Komplxität (Dimensionsbegriff!!) OHNE QUELLENANGABE einfach hingeschrieben werden. Schojoha (Diskussion) 19:27, 12. Aug. 2012 (CEST)

Wie gesagt, du brauchst keine unüblichen Metriken: Einheitsintervall mit üblicher Metrik und du hast dieselbe Situation. Das mit dem Rand ist schlichtweg falsch im metrischen Fall. Und Dimension: Da müsste natürlich stehen, was für ein Dimensionsbegriff gemeint ist, so ist die Aussage unbrauchbar. --

Gut. Wir sind uns ziemlich einig. Ich schlage daher vor, den Punkt "Sprechweise und Notation" zu streichen. "Wenig und korrekt" ist nach meiner Meinung besser als "viel und halbrichtig/fragwürdig/unbelegt! Was meinst Du? Und was meinen die übrigen User?Schojoha (Diskussion) 20:30, 12. Aug. 2012 (CEST)

Wenn man sich natürlich auf die $S^{n}$ beschränkt, ist das mit dem Rand durchaus eine sinnvoll zu erwähnende Aussage. Daher lieber das ausdiskutieren. --Chricho ¹ ² ³ 20:37, 12. Aug. 2012 (CEST)

Ich glaub wir sind uns erst mal soweit einig, dass man die metrischen Sphären rausnehmen sollte. Die tauchen nirgendwo auf (auch da sind wir uns einig), die zu behandeln wäre TF. (Mal nebenbei: Jede kompakte Mannigfaltigkeit ist (metrisch) isomorph zu einer metrischen Sphäre in einem geeigneten Raum.

Worum geht es also? Naja, die Sphären sind wichtige Objekte, die sollten gut beschrieben werden. Der Rest ist ja in der Tendenz vernünftig, verträgt aber vielleicht noch hier und da ne Verbesserung. Und nein, "Sprechweise und Notation" nicht rausnehmen, es reicht, es an den Artikel ohne Metrik anzupassen.--Frogfol (Diskussion) 22:15, 12. Aug. 2012 (CEST)

Ich war so frei, die metrische Betrachtungsweise rauszunehmen. Vielleicht jetzt noch den geometrischen Teil gestalten. (Tante E.: zB Topologie und Diffbare zusammenführen, Homologie und Fundamentalgruppen erwähnen?) --Frogfol (Diskussion) 22:35, 12. Aug. 2012 (CEST)

Die Sphären in metrischen Räumen komplett rauszuwerfen ist aber nicht die Lösung, denn der Begriff „Sphäre“ wird durchaus auch in metrischen Räumen verwendet [1] [2] [3]. Man darf nur nicht in Versuchung geraden, eine Sphäre allgemein als Oberfläche einer Kugel zu sehen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:48, 13. Aug. 2012 (CEST)

(rück ein) Einverstanden, aber dann als kurze Bemerkung nach der Def? So was wie: Man definiert auch in metrischen Räumen eine Sphäre, die ist aber kein Untersuchungsobjekt geometrischer Betrachtung.--Frogfol (Diskussion) 20:02, 13. Aug. 2012 (CEST)

Wieso nicht die normale Definition bringen? Immerhin wird die Sphäre so in Einführungsbüchern zur Analysis definiert. (Metrische) Kugeln werden ja auch nicht unbedingt geometrisch betrachtet. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:43, 13. Aug. 2012 (CEST)

Darauf, dass metrische Kugeln, viel, viel, viel, viel bedeutender sind, sollten wir uns doch einigen können? --Chricho ¹ ² ³ 21:52, 13. Aug. 2012 (CEST)

Das ist keine Frage :-). Es ging mir um Frogfols Argument, dass im Artikel Sphäre die metrische Sphäre nicht definiert werden soll, weil sie nicht geometrisch betrachtet wird. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:52, 13. Aug. 2012 (CEST)

Dass die metrische Sphäre nicht definiert werden solle, kann man ev aus meinem Beitrag oben herauslesen, war aber nicht intendiert. So was wie steht da, man kann da gerne noch die Def ergänzen. Für mich geht es in dem Artikel um die verallgemeinerte Kugeloberfläche, deren elementargeometrischen, topologischen und differentialgeometrischen Eigenschaften. Die metrische Sphäre sollte mE eher als Gründen der Abgrenzung aber auch der Vollständig erscheinen. Über die metrischen Sphäre gibt es keine eigenen mathematischen Aussagen. Die wichtigen und auch berühmten mathematischen Sätze beziehen sich ja auf die $S^{n}$ Speziell . Die metrische Sphäre sollte mE nicht scheinbar gleichbechtigt am Anfang des Artikels erscheinen. --Frogfol (Diskussion) 07:04, 14. Aug. 2012 (CEST)

Man kann ja einen Abschnitt "Verallgemeinerungen" aufmachen. Wie ist es mit Sphären in normierten Räumen? Gerade der Begriff Einheitssphäre wird in diesem Kontext häufig verwendet. Fasst man die mit den metrischen Sphären zusammen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:02, 14. Aug. 2012 (CEST)

OK, einen Abschnitt "Verallgemeinerungen" nach der Def. Sinnvoll finde ich, dort normierte Räume und metrische Räume gemeinsam zu behandeln. Ich wiederhole mich glaub ich, aber der Grund ist, dass nachher eben nur euklidische Sphären behandelt werden.

Außerdem: Die Bemerkungen, die momentan bei "Einzelnachweise" stehen, sind wichtig, aber dort falsch aufgehoben, weil es eben keine Einzelnachweise, sondern Bemerkungen sind. Entweder als Anmerkungen einfügen durch eine Gruppierung oder mE besser, im Artikel selbst als Bemerkung. (Dann kann man auch die Verweise innerhalb der Bemerkung richtig setzen.) (Und dann sollte man sich noch um die Topologie und Diffbarkeit kümmern.) Ich mach das gerne die nächsten Tage.--Frogfol (Diskussion) 21:32, 14. Aug. 2012 (CEST)

Ich habe nun am Ende des Artikels einen kleinen Abschnitt zu Sphären in normierten und metrischen Räumen ergänzt und auch den Definitionsabschnitt aufgeteilt (ich bin ein großer Fan von kleinen Häppchen :-) ). Bei der Gelegenheit konnte ich auch zwei der Anmerkungen entsorgen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:56, 16. Aug. 2012 (CEST)

Das schaut doch jetzt rund aus. (Bin diese Woche anderweitig eingebunden, hab daher wenig Zeit.) Der Baustein kann doch jetzt entfernt werden, oder?--Frogfol (Diskussion) 10:38, 16. Aug. 2012 (CEST)

Ja, die in der Diskussion genannten Kritikpunkte sind, denke ich, alle abgearbeitet. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:10, 16. Aug. 2012 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Quartl (Diskussion) 11:10, 16. Aug. 2012 (CEST)

Giesekingsche Konstante

Artikel aus der allg. QS, braucht noch Ausbau, danke --Crazy1880 16:50, 12. Aug. 2012 (CEST)

Meine Standardfragen: Nach wem ist die Konstante benannt? Vielleicht Hugo Gieseking (Analytische Untersuchungen über topologische Gruppen)? Wann wurde veröffentlicht? --tsor (Diskussion) 11:47, 13. Aug. 2012 (CEST)

Genau der. Fehlt noch was? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:14, 13. Aug. 2012 (CEST)

Ich bin nun recht zufrieden ;-)) Hübsch wäre noch eine Andeutung / Skizzierung des Weges, wie er die Konstante fand, aber das ist nicht zwingend. --tsor (Diskussion) 12:36, 13. Aug. 2012 (CEST)

Er hat ein Tetraeder genommen und je zwei Seitenflächen mittels hyperbolischer Isometrien zusammengeklebt, siehe en:Gieseking manifold. Genaueres kann ich jetzt aber auch nicht sagen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:30, 13. Aug. 2012 (CEST)

Die Konstante hat Gieseking, soweit ich sehe, nicht gefunden und auch nicht untersucht oder berechnet. Das hat z.B. Colin Adams 1987 (The noncompact hyperbolic 3-manifold of minimal volume, Proceedings of the AMS 100, August 1987, S. 601–606, "v = 1.01494...." auf S. 602), der dort die Minimalitätseigenschaft nachwies und der die Konstante dann 1998 nach Gieseking benannte, und zuvor 1982 schon John W. Milnor: Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bulletin of the AMS 6, 1982, S. 9–24, "This works out as 1.0149416...." auf S. 20 (Maximalitätseigenschaft). Formeln zur Berechnung waren schon viel früher bekannt, vielleicht schon Lobatschewski. --84.130.161.161 18:33, 13. Aug. 2012 (CEST)

Ja, das ist richtig. Gieseking hat nur den hyperbolischen Tetraeder gefunden. Ich denke aber, ich habe es im Artikel richtig formuliert. Die Konstante scheint auch nach Lobatschewski benannt zu sein, siehe [4]. Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:37, 13. Aug. 2012 (CEST)

Das eine ist das ideale hyperbolische Tetraeder, das andere die daraus durch geeignete Identifizierung von je zwei Seitenflächen gebildete Gieseking-Mannigfaltigkeit. Die haben das gleiche Volumen, im ersten Fall ist es das Maximum, im zweiten das Minimum unter gewissen Annahmen. Da das sonst verwirrend wäre, habe ich es etwas ausführlicher formuliert. --84.130.161.161 21:52, 13. Aug. 2012 (CEST)

Tatsächlich gibt es andere Bezeichnungen für die Konstante, die sollten noch ergänzt werden. Die früheste Angabe des Zahlenwertes in dezimaler Form, die ich bis jetzt gefunden habe, ist die von Milnor, es ist aber wahrscheinlich nicht die erste. --84.130.161.161 21:57, 13. Aug. 2012 (CEST)

Danke. Ich habe Lobatschewski als Namenspaten noch erwähnt. Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:31, 13. Aug. 2012 (CEST)

Das war gerade das erste Mal, dass ich einen BK beim Erstellen einer Seite hatte! (@Quartl) (ich hatte #WEITERLEITUNG per Knopf, daher gabsn Unterschied) :D --Chricho ¹ ² ³ 22:36, 13. Aug. 2012 (CEST)

Da war ich dann offenbar einen Tick schneller :-). Sollte man diesen Artikel nicht besser auf Gieseking-Konstante verschieben, ich finde das klingt weniger gestelzt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:54, 13. Aug. 2012 (CEST)

Von mir aus gern, dann erübrigt sich auch die Entscheidung Groß- oder Kleinschreibung. Die Formel mit der Dezimalentwicklung hatte ich übrigens absichtlich aufgelöst, weil die sehr lange TeX-Grafik keinen Zeilenumbruch zulässt (c&p sowieso nicht). Darüber hatten sich an ähnlichen Stellen schon andere mit nur normal breiten Bildschirmen beschwert. --84.130.161.161 00:25, 14. Aug. 2012 (CEST)

Habe den Artikel verschoben. Die Länge der Formel hält sich, denke ich, noch im Rahmen; die Reihenentwicklungs-Formel ist auch nicht viel kürzer. Zu klären ist noch, welche Jahreszahl man in Mathematische Konstante reinschreibt. Ich kann mir vorstellen, dass Gieseking zwar eine Volumenformel hatte, aber das Volumen nicht explizit berechnet hat. Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:46, 14. Aug. 2012 (CEST)

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Euklidische Normalform

Da ist dem Artikelersteller irgendwie mitten im Satz die Luft ausgegangen. --Asturius (Diskussion) 12:33, 24. Aug. 2012 (CEST)

Hi Asturius,

kann man den Artikel löschen? Ich wollte (habe) ihn in meinem Namensraum erstellt, als ich gesehen habe, dass es schwer ist dazu Quellen zu finden. Aus versehen habe ich jedoch dann leider auf "absenden" im Artikelnamensraum geklickt. Ich weiß momentan nicht genau, wann ich die Zeit finde, den Artikel zu erweitern und die Quellen zu suchen.

Grüße, --Martin Thoma 15:27, 24. Aug. 2012 (CEST)

Ich habe den Artikel löschen lassen. Viel Erfolg mit dem Ausbau im BNR. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:42, 24. Aug. 2012 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Quartl (Diskussion) 15:42, 24. Aug. 2012 (CEST)

Hüllfläche

Bitte schaut mal kurz drüber, ob das wirklich ein eigenes Lemma verdient hat...--92.202.30.43 14:52, 22. Aug. 2012 (CEST)

Von „beliebig geformt“ kann man wohl kaum sprechen, das funktioniert nur bei Polyedern und ähnlichem, wo man sinnvoll von einzelnen Flächen sprechen kann, die man summiert. Dafür gibt es eigentlich den Artikel Flächeninhalt (Oberflächeninhalt ist eine Weiterleitung), zwei Sätze zur Vorgehensweise mit dem Addieren könnte man da vielleicht fallen lassen und das Wort Oberfläche ganz explizit in der Einleitung erwähnen, dann könnte man diesen Artikel löschen. --Chricho ¹ ² ³ 15:21, 22. Aug. 2012 (CEST)

„Hüllfläche“ scheint mir kein mathematischer Begriff zu sein, dafür gibt es präziser Oberfläche oder Mantelfläche. Es kann aber sein, dass der Begriff in der Physik in leicht anderer Bedeutung verwendet wird (zumindest die internen Links deuten dies an). Die Kategorie:Analytische Geometrie habe ich jedenfalls entfernt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:40, 22. Aug. 2012 (CEST)

Der einleitende Satz Als Hüllfläche eines beliebig geformten Volumens bezeichnet man die Summe aller es begrenzenden Oberflächen. ist unklar, sogar unstimmig, wie ich finde. Er soll ja wohl eine Art Definition abgeben. Fragt sich: Worum genau geht es? Geht es um eine Maßzahl? Es ist ja von Summe die Rede. Aber ich vermute nicht. (Wenn doch: Ein Volumen ist eine reelle Zahl. Und bei der gibt es nichts zu hüllen.) Gemeint ist - denke ich - eher eine Art Flächenkomplex im Raum, der einen gegebenen (kompakten ?) Körper begrenzt, also so etwas wie der Rand eines dreidimensionalen Polyeders, bei dem jedes Randsimplex allerdings zweimal, und zwar mit Innen- und Außenfläche, berücksichtigt wird. Oder? Jedenfalls ist das alles noch einmal zu durchdenken und dann zu verbessern.Schojoha (Diskussion) 22:10, 23. Aug. 2012 (CEST)

Eine Hüllfläche ist offenbar nichts anderes als die Begrenzungsfläche (im Sinne von Fläche (Mathematik)) eines dreidimensionalen Körpers. Die Hüllfläche eines Polyeders ist aus einzelnen (flachen) Flächenstücken zusammengesetzt, das scheint mit „Summe“ gemeint zu sein, wir würden von Vereinigung sprechen. Ob der Körper unbedingt kompakt sein muss, weiß ich nicht, ich kann mir auch vorstellen, dass der Rand eines unendlich langen Zylinders als Hüllfläche bezeichnet wird. Das müssten aber diejenigen sagen, die den Begriff „Hüllfläche“ verwenden. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:03, 24. Aug. 2012 (CEST)

Hab erst auch gedacht, was das für ein komischer Artikel ist, unmathematisch geschrieben usw. Dann hab ich die links verfolgt und gemerkt, dass er für eine andere Zielgruppe geschrieben ist. Und in einem anderen als einem mathematischen Zusammenhang verwendet wird. Quartl hat alles getan, was mE aus Sicht der QS hier zu tun ist: Er hat die mathematische Kategorie entfernt. Jetzt ist er ein Artikel eher für Ingenieure, und die haben - berechtigterweise - andere Begriffsbildungen als wir. Der Abschnitt kann daher mE archiviert werden.--Frogfol (Diskussion) 13:38, 26. Aug. 2012 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Quartl (Diskussion) 13:51, 26. Aug. 2012 (CEST)

Vektor

Hey Jungs, schaut da mal bitte drüber. Das ist imho viel zu geometrielastig...--biggerj1 (Diskussion) 16:33, 26. Aug. 2012 (CEST)

Also für das nicht-geometrielastige gibt es den Artikel Vektorraum. Hier dagegen werden die Konzepte auf elementare Weise dargestellt und auf die allgemeinere Begriffsverwendung verwiesen. Ich bin eigentlich recht zufrieden so, wie es ist. --Chricho ¹ ² ³ 16:39, 26. Aug. 2012 (CEST)

(BK) Die Erklärung dafür findet sich in der Einleitung: der algebraische Aspekt von Vektoren wird im Artikel Vektorraum behandelt. Ob diese Aufteilung so sinnvoll ist, ist natürlich eine andere Sache. Die beiden Artikel zusammenzuführen ist aufgrund der Größe nicht wirklich praktikabel. Eine andere sinnvolle Aufteilung fällt mir im Moment auch nicht ein. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:42, 26. Aug. 2012 (CEST)

Ok, wenn das der Konsens ist, dann soll es so sein ;) --biggerj1 (Diskussion) 16:43, 26. Aug. 2012 (CEST)

Obwohl sich die Archivierung um 2 h verlängert, senfe ich mal:

Also für das nicht-geometrielastige gibt es den Artikel Vektorraum. Hier dagegen werden die Konzepte auf elementare Weise dargestellt und auf die allgemeinere Begriffsverwendung verwiesen. Ich bin eigentlich recht zufrieden so, wie es ist.signed.

Und ergänzt: Für die Mathematiker ist der Begriff vielleicht in Vektorraum besser dargestellt, hier sollen aber gerade nichtmathematische (mathematisch im sehr engen Sinne) Zugänge dargestellt werden, und da liegt der Artikel vollkommen richtig. Der Vektorbegriff der Mathematik ist eine Präzisierung und Operationalisierung des Begriffes (für die Mathematik), das darf man aber nicht als absolute Eingemeindung missverstehen.---Frogfol (Diskussion) 18:32, 26. Aug. 2012 (CEST)

Nur als Anmerkung, bevor es als erledigt ganz zu den Akten gelegt wird: In vielen Teilen der Mathematik versteht man unter einem Vektor einfach ein n-Tupel reeller oder komplexer Zahlen, also ein Element des $\mathbb {R} ^{n}$ bzw. $\mathbb {C} ^{n}$, in der Regel als "Spaltenvektor" geschrieben und mit einer einspaltigen Matrix identifiziert. Ich hatte mir mal vorgenommen, diesen Vektorbegriff auch in dem Artikel darzustellen. Die Einleitung verspricht das auch, aber der Artikel hält das bis jetzt nicht. Der Artikel wäre also in diese Richtung noch ausbaufähig. Die Alternative wäre ein eigener Artikel zu den "Standardvektorräumen" $\mathbb {R} ^{n}$ und $\mathbb {C} ^{n}$, ich weiß nur nicht, wie dieser heißen sollte. --Digamma (Diskussion) 19:13, 27. Aug. 2012 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Chricho ¹ ² ³ 16:47, 26. Aug. 2012 (CEST)

Orientierte Fläche

Der Artikel wurde wohl von einem Physiker geschrieben. Mathematisch ist da einiges zu eng bzw. zweifelhaft. --Digamma (Diskussion) 09:27, 25. Aug. 2012 (CEST)

Ich weiß das dem so ist :D. Bitte aber nur das zweifelhafte entfernen und nicht den Artikel so umformulieren, dass er so unverständlich wird wie Orientierung (Mathematik). Dieser Artikel soll einfach nur in einfacher (aber natürlich richtiger) Weise die Konventionen der Wahl der Normelenvektorfelder einer Fläche darstellen. Damit alle fröhlich ihre „orientierten Flächen“ verlinken können. --svebert (Diskussion) 10:39, 25. Aug. 2012 (CEST)

Da ist leider noch so viel falsch. Korrekte Definitionen werden auch nicht gegeben. Was ist hier eine Fläche? Offenbar sollen alle Flächen im R^3 leben. Eine berandete Fläche soll offenbar eine kompakte berandete Fläche sein usw. So finde ich den Artikel unbrauchbar.--Frogfol (Diskussion) 13:46, 26. Aug. 2012 (CEST)

Es sind Flächen im R2 und R3 gemeint verallgemeinerte Flächen werden für gewöhnlich Hyperflächen genannt. Und wenn ich die Einleitung von Fläche (Mathematik) lese, dann steht dort „Eine Fläche im anschaulichen Sinn ist eine zweidimensionale Teilmenge des dreidimensionalen Raumes, beispielsweise eine Ebene, eine zweidimensionale geometrische Figur oder die Begrenzungsfläche eines dreidimensionalen Körpers. Eine Fläche kann somit sowohl flach als auch gekrümmt sein.“ In diesem Sinne wird der Begriff der Fläche im hier diskutierten Artikel verwendet.

Kompaktheit: Ich verstehe nicht wo du drauf hinaus willst? Gibt es Nichtkompakte Flächen mit einer Kurve als Berandung? Kannst du mir bitte mal so ein schönes pathologisches Beispiel geben, damit ich verstehe wo das Problem liegt.

Das der Artikel für Mathematiker nicht brauchbar ist mag sein... Mathematiker müssen ja auch nur die Existenz von Oberflächenintegralen beweisen und nicht tatsächlich ausrechnen ;-), damit ist ihnen das Vorzeichen und daher die Vorzeichenkonvention egal. Physiker müssen aber hin und wieder mal z.B. magnetische Flüsse usw. ausrechnen. Hier ist das Vorzeichen nicht so egal.

Digamma entfernte: „Eine orientierte Fläche wird mathematisch als Vektor bzw. Vektorfeld dargestellt. Der Vektor zeigt in Richtung des gewählten Flächennormalenvektors und hat als Betrag den Flächeninhalt der (berandeten) Fläche“. Mit der Begründung „Zweifelhaft“.

Was genau ist daran zweifelhaft, dass eine orientierte Fläche eine Fläche zusammen mit einem speziell gewählten Vektorfeld ist? Und zwar wählt man das Vektorfeld so, dass es normal an jedem Punkt zur Fläche steht.

Zum Betrag: Ordnet man der Fläche genau einen Vektor zu, so ist sein Betrag gleich dem Flächeninhalt. Nun zerteilt man die Fläche in N Teilflächen und ordnet jeder Teilfläche einen Normalenvektor zu der als Betrag den Flächeninhalt der Teilfläche hat und senkrecht auf der Teilfläche steht. Was hält mich nun davon ab den Limes $N\to \infty$ zu vollführen und diese infinitesimalen Flächenstückchen dann $\mathrm {d} {\vec {A}}({\vec {x}})$ zu nennen? Ist $\mathrm {d} {\vec {A}}$ nun kein Vektorfeld? Und $\mathrm {d} {\vec {A}}({\vec {x}})$ kein Vektor?--svebert (Diskussion) 17:14, 26. Aug. 2012 (CEST)

...verallgemeinerte Flächen werden für gewöhnlich Hyperflächen genannt.

Nein, Hyperflächen sind n-1-dimensionale Gebilde im n-dimensionalen Raum. Flächen sind 2-dimensional, müssen aber nicht im R^3 liegen (Kleinsche Flasche)

Gibt es Nichtkompakte Flächen mit einer Kurve als Berandung?

Das Komplement einer offenen Kreisscheibe im R^2

Edit: Jede berandete Fläche, von der du ne Kreisscheibe entfernst.

In Berandete Fläche ist das meiste nicht sauber definiert, das find ich problematisch.

Fläche (Mathematik) ist ein Übersichtsartikel, wenn du dich auf ihn beziehen willst, musst du den Begriff trotzdem präzisieren.Gruß--Frogfol (Diskussion) 18:20, 26. Aug. 2012 (CEST)

Danke für die Präzesierungen. Ich verstehe nicht, warum du von kompakt anstatt abgeschlossen redest... Ich halte kompakt für zu einschränkend, da man eine halbunendliche Ebene im R3 (Fläche die von x= -\infty bis 0 geht und von y= -\infty bis +\infty) sehr wohl orientieren kann. Aber trotzdem ist diese Fläche nicht beschränkt und daher nicht kompakt. Auch verstehe ich nicht, warum man nun offene Flächen nicht orientieren könnte. In der Praxis (hier gehts meistens ums Integrieren) ist es irrelevant ob eine Fläche abgeschlossen oder offen ist. Denn das Maß über den „Abschluss“ oder wie das auch immer heißt ist Null, wenn ich mich recht erinnere.--svebert (Diskussion) 18:50, 26. Aug. 2012 (CEST)

Nun topologische Räume insbesondere also Fläschen sind immer abgeschlossen. Der Abschnitt "Berandete Fläche" spricht deshalb von kompkten Flächen, weil nicht-kompakte Flächen nicht von einer Kurve umlaufen werden können. Wäre es nicht vielleicht besser gewesen, den Artikel Orientierung (Mathematik) um das Konzept des Normalenvektors zu erweitern?--Christian1985 (Diskussion) 21:19, 26. Aug. 2012 (CEST)

Der Abschnitt "Unberandete Fläche" passt so leider auch nicht. Unberandete Flächen müssen kein Volumen umschließen. Ob man nun sagen möchte, dass die Sphäre ein Volumen umschließt, oder ob es diesen Raum innerhalb der Sphäre gar nicht gibt, ist von der Sichtweise auf das Objekt abhängig. Aber der $\mathbb {R} ^{2}$ ist auch eine unberandete Fläche, die aber sicher kein Volumen umschließt. --Christian1985 (Diskussion) 21:25, 26. Aug. 2012 (CEST)

<<Alles Wasser auf meine Mühlen. Irgendwie ist vielleicht klar, was gemeint ist, aber kein konkretes (mathematisches) Konzept steckt dahinter. Was sollen wir machen. In einem hat svebert ja recht: Das Lemma ist relevant, man sollte es gut erklären. Frage, wie verfahren wir weiter?--Frogfol (Diskussion) 21:36, 26. Aug. 2012 (CEST)

Wenn ich es recht verstehe, wird hier nicht auf den allgemeinen Flächenbegriff der Topologie aufgesetzt, sondern mehr vorausgesetzt.

In der allgemeinen Topologie spricht man ja von eine Fläche im Sinne einer 2-dimnensionalen Mannigfaltigkeit, wenn ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis gegeben ist, der lokal wie $\mathbb {R} ^{2}$ (Unberandet-Fall) oder wie die abgeschlossene Halbebene $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y\geq 0\}$ (Berandet-Fall) aussieht.

Aber der Atlas, den man damit hat, liefert i. A. keine glatte Struktur. Ich habe jedoch den Eindruck, dass hier nur solche gemeint sind. Oder?Schojoha (Diskussion) 23:30, 26. Aug. 2012 (CEST)

Vielleicht denke ich da ja zu idealistisch, aber es sollte doch möglich die Ansprüche von Physikern und Mathematiker an so einen Artikel unter einen Hut zu bringen, sonst würde das ja auf Orientierte Fläche (Physik) und Orientierte Fläche (Mathematik) hinauslaufen.

Ein "vernünftiger" Flächenbegriff aus mathematische Sicht wäre vielleicht dafür so etwas wie die ${\mathcal {C}}^{1}$-Flächen, die Konrad Königsberger hier definiert, aber vielleicht sogar nur als zweidim. Fläche im dreidim. Raum, also im Wesentlichen zweidim. Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{3}$ bis auf zweidim. Nullmengen. Das würde die "berandeten" Flächen, aber auch z.B. den Rand von Kugel und Würfel abdecken und ist geeignet für die Integralsätze von Gauß und Stokes. -- HilberTraum (Diskussion) 12:35, 27. Aug. 2012 (CEST)

Aber das ist ja irgendwie nur ein Spezialfall des Ganzen. In einem hablben Jahr kommt dann ein Benutzer, der diese Diskussion nicht kennt und sich an den Einschränkungen des Artikels stört und ihn deshalb umschreibt. Ich fände es besser, wenn wir das Problem an der Wurzel packen würden. Für mich sähe das so aus, den Artikel Orientierung (Mathematik) zu verbessern beziehungsweise verständlicher zu gestalten. Vielleicht findet man danach noch in einem der Artikel Fläche (Mathematik), Reguläre Fläche oder Orientierung (Mathematik) noch Platz um etwas über die Integralsätze zu sagen, so dass der Artikel hier in eine Weiterleitung verändert werden könnte. --Christian1985 (Diskussion) 13:12, 27. Aug. 2012 (CEST)

Uh, der Artikel Orientierung (Mathematik) ist aber momentan noch seeehr weit davon entfernt, z. B. einem Physikstudenten im 1. oder 2. Semester erklären zu können, was eine orientierte Fläche ist (um z.B. einen Fluss (Physik) zu berechnen). Eine Orientierung mit Hilfe eines stetigen Einheitsnormalenfeldes wird ja nicht mal ansatzweise angesprochen. Und würde wohl auch gar nicht passen, denn das Thema dort ist ja eigentlich die Orientierung (abstrakter) Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension und nicht die von Hyperflächen im $\mathbb {R} ^{n}$. Insofern kann ich die Intention von Orientierte Fläche schon gut nachvollziehen. -- HilberTraum (Diskussion) 14:49, 27. Aug. 2012 (CEST)

sverbert schreibt:

Digamma entfernte: „Eine orientierte Fläche wird mathematisch als Vektor bzw. Vektorfeld dargestellt. Der Vektor zeigt in Richtung des gewählten Flächennormalenvektors und hat als Betrag den Flächeninhalt der (berandeten) Fläche“. Mit der Begründung „Zweifelhaft“.

Was genau ist daran zweifelhaft, dass eine orientierte Fläche eine Fläche zusammen mit einem speziell gewählten Vektorfeld ist? Und zwar wählt man das Vektorfeld so, dass es normal an jedem Punkt zur Fläche steht.

Nicht die orientierte Fläche wird als Vektorfeld dargestellt, sondern die Orientierung der Fläche. Um die orientiere Fläche darzustellen braucht man immer noch zusätzlich die Fläche selbst, wie du hier ja schreibst, aber nicht im Artikel.

Und zwar wird die Orientierung durch ein Einheitsnormalenvektorfeld dargestellt, nicht durch einen einzelnen Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt der Fläche entspricht. Es kann sein, dass es einzelne Anwendungen gibt, wo es sinnvoll ist, so einen Vektor zu betrachten. Im Allgemeinen verliert man dabei aber zuviel Information über die Fläche. Und welche Richung sollte dieser einzelne Vektor haben, wenn die Fläche gekrümmt ist? Möglicherweise verwechselst du dies mit einem orientierten "Flächenelement". --Digamma (Diskussion) 19:24, 27. Aug. 2012 (CEST)

Ergänzung: Ich habe den zweiten Teil

Zum Betrag: Ordnet man der Fläche genau einen Vektor zu, so ist sein Betrag gleich dem Flächeninhalt. Nun zerteilt man die Fläche in N Teilflächen und ordnet jeder Teilfläche einen Normalenvektor zu der als Betrag den Flächeninhalt der Teilfläche hat und senkrecht auf der Teilfläche steht. Was hält mich nun davon ab den Limes $N\to \infty$ zu vollführen und diese infinitesimalen Flächenstückchen dann $\mathrm {d} {\vec {A}}({\vec {x}})$ zu nennen? Ist $\mathrm {d} {\vec {A}}$ nun kein Vektorfeld? Und $\mathrm {d} {\vec {A}}({\vec {x}})$ kein Vektor?--svebert (Diskussion) 17:14, 26. Aug. 2012 (CEST)

übersehen. Antwort: Nein, $\mathrm {d} {\vec {A}}$ ist kein Vektorfeld und $\mathrm {d} {\vec {A}}({\vec {x}})$ ist kein Vektor. Es ist leider gar nicht einfach, $\mathrm {d} {\vec {A}}$ rigoros als mathematisches Objekt zu definieren. Deshalb vermeiden Mathematiker dies meist und geben nur dem Integral insgesamt aber nicht dem "Differential" eine mathematische Bedeutung.

Dein Satz im Artikel hieß: „Eine orientierte Fläche wird mathematisch als Vektor bzw. Vektorfeld dargestellt. Der Vektor zeigt in Richtung des gewählten Flächennormalenvektors und hat als Betrag den Flächeninhalt der (berandeten) Fläche“. Ich bezweifle, dass irgendjemand, auch kein Physiker oder Physikstudent oder Student der Ingenieurwissenschaften, diesen Satz so verstehen wird, wie du ihn hier erläutert hast, es sei denn, er ist mit Flächenintegralen schon hinreichend vertraut. --Digamma (Diskussion) 20:44, 27. Aug. 2012 (CEST)

Also man definiert das schon, nur insgesamt doch deutlich „anders“, nämlich mit Differentialformen, wie das konkret aussieht, findet man unter Satz von Stokes#Gaußscher Integralsatz. --Chricho ¹ ² ³ 20:49, 27. Aug. 2012 (CEST)

Ich schlage vor, die Detaildiskussion auf der Diskussionsseite des Artikels zu führen. Ansonsten möchte ich mich HilberTraum anschließen: Ziel es muss sein, einen Artikel zu erhalten, der mathematisch korrekt und sowohl für Mathematiker als auch für Physiker verständlich ist. --Digamma (Diskussion) 19:40, 27. Aug. 2012 (CEST)

Ich habe mal eine Definition im Artikel ergänzt. --Christian1985 (Diskussion) 00:37, 31. Aug. 2012 (CEST)

Nachdem Digamma den Abschnitt zu den berandeten bzw. unberandeten Flächen neugeschrieben hat, kann, denke ich, die Diskussion hier beendet werden.--Christian1985 (Disk) 10:09, 5. Sep. 2012 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 10:09, 5. Sep. 2012 (CEST)

Seifert-Fläche

Zu wenig Erklärungen, kein Links, keine Literatur. Was kompakt , zusammenhängend und orientierbar etc. bedeutet, ist ja noch so manchem User - aber vermutlich auch nur einem Mathematiker oder Naturwissenschaftler - geläufig. Aber was genau macht der Schachbrett-Algorithmus und was genau sind getwistete Annuli? Wären da nicht ein paar erhellende Erklärungen unter Einbau von ein paar weiteren Links angebracht?! Oder ein Hinweis auf ein ordentliches Lehrbuch über Knotentheorie, wo man auch mal was nachlesen kann? Schojoha (Diskussion) 23:13, 22. Aug. 2012 (CEST)

Ich habe nun auch noch mal den Artikel überarbeitet. Viele der Kritikpunkte wurden mitlerweile behoben. Jetzt fehlt insbesondere noch eine Erklärung, wie der Seifert-Algo funktioniert. --Christian1985 (Disk) 23:24, 4. Sep. 2012 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 11:29, 7. Sep. 2012 (CEST)

Dichotomes Verfahren

Mag bitte mal ein Mathematiker über dieses Artikelchen schauen? Es gibt - außer der angegebenen VEB-Literatur - keinerlei Hinweis auf dieses "Verfahren der nichtlinearen Optimierung" in der Mathematik. Zwei Bücher beschreiben ein Verfahren in der Linguistik. Im Web gibt es gerade mal 10 Treffer und die haben nix mit dem zu tun, was da im Artikel zu beschreiben versucht wird. Und bei "Dichotomes sequentielles Verfahren" findet man gar nix. Also entweder falsches Lemma oder Begriffsetablierung oder Fake oder ??? --Nobody (Diskussion) 23:33, 4. Aug. 2012 (CEST)

Der Begriff "dichotome sequentielle Suche" wurde auch in den Artikel Bisektion eingefügt. Den Begriff gibt es aber auch nicht.--Nobody (Diskussion) 23:37, 4. Aug. 2012 (CEST)

Fröhlicher Gruß. Allein Deine Anmerkung außer der angegebenen VEB-Literatur disqualifizierst du den Artikel auf ein Niveau, der dem bekannten Ossi-Wessi-Muster entspricht. Insoweit: Einfach daneben, bloß, weil du im Internet nichts gefunden hast. Dass es hier inhaltlicher Verbesserungen bedarf, bestreite ich nicht. Ein bissel "rotzig", dein Vorgehen, mMn. Gruß, --Rote4132 (Diskussion) 23:57, 4. Aug. 2012 (CEST)

Hm, ein Oberbegriff für Verallgemeinerungen der Bisektion, bei denen man nicht unbedingt in der Mitte guckt, sondern nach etwaigen Heuristiken auch mal woanders? So versteh ich den Artikel. Aufteilung in mehr als Zwei Teile würde ich etymologisch ausschließen (Dichotomie). --Chricho ¹ ² ³ 00:41, 5. Aug. 2012 (CEST)

"Annähernd gleiche Halbierung" würde ich mehr oder weniger als Bisektion verstehen. Bei Verwendung von Gleitkommazahlen kann es z.B. vorkommen, dass man die Mitte eines Intervalls nicht exakt als Zahl darstellen kann, und dann nimmt man halt die nächstliegende. Offenbar handelt es sich hier um einen absolut ungebräuchlichen Begriff, der sicher keinen eigenen Artikel rechtfertigt. Zur Not kann man auf Bisektion weiterleiten. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:30, 5. Aug. 2012 (CEST)

@Rote4132: Könntest Du Dich bitte auf die Sachebene begeben und dafür diesen Ossi-Wessi-Quatsch unterlassen? Wenn das ein Springer-Buch wäre, hätte ich Springer-Literatur geschrieben und so ist es halt ein Buch aus einem VEB, also eine VEB-Literatur.

Die Wikipedia bildet etabliertes Wissen ab und dient nicht der Etablierung eines Begriffes, der in einem einzigen unbedeutenden Mathebuch (Kleine Enzyklopädie Mathematik) aus dem Jahr 1979 mal auftaucht und sonst nirgends. Dieser Begriff hat sich in der Mathematik definitiv nicht etabliert.

Noch ein paar Anmerkungen zu dem Artikel: Stilistisch schlecht und voller Rechtschreibfehler. Außerdem ein Artikel über ein mathematisches Verfahren ohne eine einzige Formel? Ich tendiere immer mehr zum Löschantrag. --Nobody (Diskussion) 10:18, 5. Aug. 2012 (CEST)

@Nobody: Danke, gleichfalls, mal auf der Sachebene bleiben.

Mag sein, dass es sich um einen - damaligen - Versuch handelte, den bereits im englischen Sprachgebrauch etablierten Begriff dichotomic search ins Deutsche zu übertragen und auch die Verallgemeinerung A binary search is a dichotomic divide and conquer search algorithm damit zu fassen. Kann/konnte ich nicht bewerten. Die de:WP geht in Dichotomie bei weitem nicht so weit wie die en:WP in Dichotomy. Nur dadurch habe ich den Artikel überhaupt angelegt.

Gleiches gilt für die fr:WP, die "Dichotomie" überhaupt nur als Algorithmus kennt (hier) und schließlich die Méthode de dichotomie. Also ganz so abtun und gleich die Keule des LA herausholen sollte man es nicht. --Rote4132 (Diskussion) 16:39, 5. Aug. 2012 (CEST)

Das ist nicht die Löschdiskussion, sondern die QS-Mathematik, also nix mit Keule. Nur muss da mal Butter bei die Fische. Das Lemma ist so offensichtlich nicht haltbar und als eigenständiger Artikel m. E. viel zu dünn.--Nobody (Diskussion)

Der englische Artikel en:Dichotomic search und der französische Artikel fr:Dichotomie beschreiben im wesentlichen die binäre Suche, der französische Artikel fr:Méthode de dichotomie im wesentlichen das Bisektionsverfahren. Welches andere Verfahren soll denn in dem Artikel Dichotomes Verfahren beschrieben werden? Eventuell eine Variante des Verfahren des Goldenen Schnittes (siehe en:Golden section search)? Die genaue Funktionsweise des Verfahrens kann man leider aus der Beschreibung nicht rauslesen. Was steht denn in dem Lexikoneintrag drin? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:55, 5. Aug. 2012 (CEST)

Da hier offenbar nichts passiert, habe ich den Artikel nun zu den Löschkandidaten verschoben. Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:47, 26. Feb. 2013 (CET)

Ja in der Form ist der Artikel nichts und kann auch gerne weg.--Christian1985 (Disk) 09:34, 11. Mär. 2013 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 10:53, 19. Mär. 2013 (CET)

Marginaler Effekt

Sehr kurz. --Zulu55 (Diskussion) 12:58, 6. Aug. 2012 (CEST)

Wenn der Autor selbst sich nicht in der Lage sieht, den Artikel zu verbessern und aus der Redaktion keiner helfen will, sehe ich nur eine Lösung. Für Artikelwünsche gibt es Portal:Mathematik/Fehlende Artikel. Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:31, 13. Mär. 2013 (CET)

Das sehe ich auch so.--Christian1985 (Disk) 15:53, 20. Mär. 2013 (CET)

Hallo, ich hatte das hier in die QS eingetragen, in der Hoffnung, dass noch andere Interessierte auf den Artikel aufmerksam werden und ihn weiter ergänzen. Für eine Löschung sehe ich keinen Grund. Der zugegeben kurze Artikel ist informativ. --Zulu55 (Diskussion) _Unwissen 16:15, 20. Mär. 2013 (CET)

Die QS ist dafür aber letztendlich der falsche Ort. Vielleicht schreibst du mal Benutzer, die sich in dem Bereich auskennen, an und bittest sie um Mithilfe. Diese QS setze ich vorerst auf erledigt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:36, 20. Mär. 2013 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Quartl (Diskussion) 16:36, 20. Mär. 2013 (CET)

Elementarereignis, Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie) und Ergebnis (Stochastik)

Also entweder hab ich an der Uni was komplett anderes gelernt und es gibt bloß unterschiedliche Definitionen, oder die Seiten Elementarereignis, Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)#Elementarereignis und Ergebnis (Stochastik) haben elementare Fehler. So wie ich das kenne, ist das nämlich so:

• Das Ergebnis ist ein Element der Ergebnismenge.
• Das Ereignis ist ein Element der Potenzmenge der Ergebnismenge.
• Das Elementarereignis ist damit auch ein Element der Protenzmenge der Ergebnismenge, nur mit der Einschränkung, dass es nur ein Element hat.

Insbesondere sind danach Ergebnis und Elementarereignis, die hier an den genannten drei Stellen als identisch sowie (im Falle von Elementarereignis) mehrdeutig bezeichnet und synonym genutzt werden, weder dasselbe noch mehrdeutig. Schon allein weil ein Ereignis eine Menge ist, wüsste ich nicht, warum ein Elementarereignis plötzlich keine Menge mehr sein sollte. --Яedeemer 23:22, 2. Aug. 2012 (CEST)

Wie in Ergebnis (Stochastik) geht Elementarereignis als Element und nicht Menge auf Kolmogorow zurück, dass andere scheint die gegenwärtige Mode zu sein. Die Variante hat also eine gewisse historische Bedeutung und gehört jedenfalls ebenfalls in die Artikel. --Erzbischof 00:16, 3. Aug. 2012 (CEST)

Яedeemer hat nicht ganz Unrecht. Man solte noch einmal an der Beghrifflichkeit arbeiten. Streng axiomatisch gesehen ist ein Ereignis im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie ein Element der Sigma-Algebra eines Wahrscheinlichkeitsraums. Das ist sicher auch gemeint, wird aber durch die Formulierung messbare Menge von Ergebnissen eines Wahrscheinlichkeitsraumes eher verschleiert. Das Problem liegt in der Wendung Ergebnisse eines Wahrscheinlichkeitsraumes. Hier sollte man eher von Ergebnissen eines Zufallsversuchs reden. In der endlichen Stochastik allerdings bilden oft all diese Ergebnisse des jeweils zugrundeliegenden Zufallsversuch zusammengenommen die Menge der Elementarereignisse oder auch Ergebnismenge und deren Potenzmenge bildet dann , versehen mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß, die Sigma-Algebra des zugehörigen Wahrscheinlichkeitsraums. Schojoha (Diskussion) 22:53, 23. Aug. 2012 (CEST)

Das ist aber keine Frage von richtig oder falsch, sondern von unterschiedlichen (historischen) Bezeichnungstraditionen. Die meisten (aktuellen) Lehrbücher haben sich zwar aus guten Gründen von Kolmogorovs Gebrauch des Begriffes "Elementarereignis" verabschiedet, aber da Kolmogorov nun einmal der Meister ist, mit dem das alles anfing, sind die von ihm damals gewählten Bezeichungen eben nicht ganz totzukriegen und WP muss dem eben Rechnung tragen. Man kann sicher die einzelnen Lemmata etwas überarbeiten und vielleicht etwas klarer mit mehr Kontext gestalten, aber an der Doppeldeutigkeit des Begriffes Elementarereignis kommt man nicht vorbei.--Kmhkmh (Diskussion) 00:01, 24. Aug. 2012 (CEST)

- Mein Haupteinwand bezieht sich darauf, dass von Ergebnissen eines Wahrscheinlichkeitsraumes die Rede ist, ohne den Begriff des Zufallsversuchs ins Spiel zu bringen.

- Dass in der Mathematik Begrifflichkeiten mit Bezeichnern belegt werden, die in der Umgangssprache oder in anderen Wissenschaften anders oder abweichend benutzt werden, ist eine Sache, mit die Mathematik schon lange lebt und leben muss. Dafür gibt es viele Beispiele. Man denke nur an Menge oder Funktion usw..

- Ich möchte nicht in Abrede stellen, dass einige Lehrbücher heute den Begriff des Elementarereignisses eher meiden, finde es aber nicht gerechtfertigt. Ich meine, man kommt um Kolmogorov nicht herum, wenn man ein Lehrbuch über W-Theorie macht. Kolmogorov hat nun mal Fundamentales zur Grundlegung und zum Ausbau der W-Theorie beigetragen. Und so sind die Elementarereignisse fast unvermeidlich.

Schojoha (Diskussion) 16:44, 26. Aug. 2012 (CEST)

Ich habe Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie) ein wenig überarbeitet: Die Einleitung vom Niveau etwas niedriger (ohne "messbare Menge"), dafür aber einen Definitionsabschnitt. Besser so? Die zwei Bedeutungen von Elementarereignis - die es nun mal leider gibt - werden in den Artikeln doch eigentlich ganz gut angesprochen, oder? -- HilberTraum (Diskussion) 18:26, 26. Aug. 2012 (CEST)

Besser. Noch ein Vorschlag: Im Unterabschnitt "Elementarereignis" sollte man vielleicht auch den kontinuierlichen Fall nicht ausschließen. Man denke etwa an [0,1] mit dem Lebesgue-Maß und ein $\{x\}\subset [0,1]$. Bzw. im ganz allgemeinen Fall Elementarereignisse an die Bedingung $\{x\}\in \Sigma$ knüpfen. Schojoha (Diskussion) 23:02, 26. Aug. 2012 (CEST)

Ich bin mir da gar nicht so ganz sicher, ob das die Literatur hergibt: Die Mehrzahl der Bücher, die überhaupt "Elementarereignis" verwenden, bezeichnen damit ein Ergebnis, also ein $\omega \in \Omega$. Die anderen sind meist auf etwas niedrigerem Niveau und betrachten (zuerst) nur abzählbares $\Omega$ und nennen dann $\{\omega \}\subset \Omega$ Elementarereignis. Ich kann mir momentan auch gar nicht denken, warum für überabzählbare Wahrscheinlichkeitsräume die einelementigen Ereignisse so wichtig sein sollen, dass sie einen eigenen Namen brauchen. -- HilberTraum (Diskussion) 12:07, 27. Aug. 2012 (CEST)

Ich habe auch noch mal geblättert und Folgendes gefunden:

- Die deutschsprachige Lehrbuchliteratur ist an dieser Stelle in der Tat nicht einheitlich.

- Bei Klaus D. Schmidt, Maß und Wahrscheinlichkeit, Springer, 2009, S. 195, (neueres Lehrbuch!) wird unterschieden zwischen dem $\omega \in \Omega$ , also Ergebnis = Element der Ergebnismenge $\Omega$, und dem $\{\omega \}\in \Sigma$, also Elementarereignis = einelementiges Ereignis des W-Raums.

- Bei A. N. Širjaev, Wahrscheinlichkeit, Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1988 , S. 19 / S. 149, findet man $\Omega$ = Raum der Versuchsausgänge oder Raum der elementaren Ereignisse.

- Schmidt ist da also genauer als Širjaev.

- Viele Lehrbücher erwähnen den Begriff Elementarereignis bzw. Elementares Ereignis überhaupt nicht, wie oben schon erwähnt.

- Nicht gefunden habe ich, dass allein im diskreten oder endlichen Fall der Begriff Elementarereignis bzw. elementares Ereignis verwandt wird, im kontinuierlichen dagegen nicht. Allerdings kann ich nicht behaupten, dass man dergleichen in gewissen deutschsprachigen Lehrbüchern nicht findet.

- Durch eine reelle bzw. vektorwertige Zufallsgröße / Zufallsvariable $X$ wird über die Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_{X}$ = Bildmaß von $X$ der Zielraum $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {R} ^{n}$, versehen mit den Borelschen Sigma-Algebra, zum W-Raum. Ich denke, dies ist der Standardfall eines kontinuierlichen W-Raums. Da nun die Raumstruktur / Punktstruktur das $X$ und damit auch das $P_{X}$ erheblich mit beeinflussen, spielen im kontinuierlichen Fall die Punkte als Elementarereignisse, etwa bei Stetigkeitsbetrachtungen, schon eine Rolle.

Schojoha (Diskussion) 22:11, 30. Aug. 2012 (CEST)

Ich dachte an Bücher wie den als Referenz angegebenen Henze. Da werden allgemeine überabzählbare Modelle erst ganz am Ende behandelt und es ist nicht klar, ob die für den abzählbaren Fall gegebene Definition von Elementarereignis für diese immer noch gelten soll. Bei Bosch: Elementare Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist es ähnlich. Aber das Buch von Klaus Schmidt hat mich überzeugt!

Deinen letzten Punkt habe ich nicht so recht verstanden, was für Stetigkeitsbetrachtungen spielen eine Rolle? Was ich meinte war: In abzählbaren Wahrscheinlichkeitsräumen sind die einelementigen Ereignisse insofern "elementar" als es reicht nur für diese Wahrscheinlichkeiten festzulegen, um ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der ganzen Potenzmenge von $\Omega$ zu definieren. Auch ist eine Abbildung zwischen abzählbaren Wahrscheinlichkeitsräumen genau dann messbar, wenn die Urbilder der Elementarereignisse messbar sind. Im überabzählbaren Fall klappt das alles nicht, insofern kommen mir dort die einelementigen Ereignisse irgendwie unnütz vor. Aber das hindert natürlich nicht daran, sie trotzdem Elementarereignisse zu nennen, siehe Schmidt. -- HilberTraum (Diskussion) 15:29, 31. Aug. 2012 (CEST)

Wobei Schmidt auch mit einem Auge fuer diskrete Wahrscheinlichkeitsraeume schreibt. Btw, wie haengt das jetzt eigentlich mit den Atomen/atomaren Maßen zusammen? --Erzbischof 21:11, 31. Aug. 2012 (CEST)

Der Artikel Ergebnis (Stochastik) meint, ein Ergebnis werde auch atomares Ereignis (= Atom?) genannt. Das kommt mir zumindest seltsam vor. Selbst wenn man nicht zwischen $\omega$ und $\{\omega \}$ unterscheiden will, hätte ich spontan gesagt, dass man zumindest noch $P(\{\omega \})>0$ verlangen sollte, so dass z.B. eine stetige Verteilung auf $\mathbb {R}$ "atomlos" ist. Nach einer kurzen Googlelei sieht es aber so aus, als würde in der Literatur atomares Ereignis/Atom mindestens genauso uneinheitlich definiert wie Elementarereignis. -- HilberTraum (Diskussion) 18:23, 1. Sep. 2012 (CEST)

@HilberTraum:

Beim letzten Punkt oben habe ich mich vergaloppiert. Was mir vorschwebte, war, dass in manchen Fällen eine punktuelle Betrachtung ausreicht. Der typische Fall ist auch hier der der borelschen σ-Algebra von $\mathbb {R}$ und der Nullpunkt: Kennt man die Nullumgebungen, dann kennt man die Topologie und damit auch die Borelmengen usw.. Jedenfalls stimme ich Dir zu: Im allgemeinen überabzählbaren Fall reicht die Kenntnis über bzw. reichen die Festlegungen für die Elementarereignisse keinesfalls aus, um eine σ-Algebra oder ein Maß unzweideutig festzulegen.

@Erzbischof:

Die Begrifflichkeit ist unübersichtlich, soweit ich weiß. Was ich schon gelesen habe, ist folgendes: In einem Messraum $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ heißen die minimalen $A\in {{\mathcal {A}}\setminus \{\emptyset \}}$ manchmal auch auch Atome. (Das Konzept ist dabei aus der Ordnungs-/Verbandstheorie übernommen!) Manchmal werden hier - strenger ! - bei einem Maßraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ auch nur die messbaren Mengen $A\in {\mathcal {A}}$ mit $\mu (A)>0$ betrachtet. Die Atome der borelschen σ-Algebra von $\mathbb {R}$ bspw. sind die Einpunktmengen (s. o.). Legt man aber die strengere Auffassung zugrunde, hat die borelschen σ-Algebra von $\mathbb {R}$ keine Atome. Und wie gesagt: Die Einpunktmengen allein bestimmen i. A. nicht den gesamten Mess-/Maßraum.

Dabei gibt natürlich viele Fälle, in denen es doch so ist: Man nehme etwa eine diskunkte Zerlegung einer Menge $\Omega$ in abzählbar viele Blöcke und bestimme ${\mathcal {A}}$ durch Bildung aller Vereinigungen über solche Blöcke. Die Blöcke sind dann die Atome, welche die gesamte σ-Algebra bestimmen. Jedes Maß darauf ist schon durch die Maßzahlen der Blöcke bestimmt.

Ob nun aber zu den atomaren Maßräumen genau diese gerechnet werden und keine sonst, kann ich nicht mit Bestimmtheit sagen.

Im englischen Wikipedia etwa findet man den Begriff des nicht atomaren Maßes (non-atomic measure): [5]

Schojoha (Diskussion) 20:37, 1. Sep. 2012 (CEST)

Wie sieht es aus, besteht an den Artikeln immer noch ein Qualitätssicherungsbedraf, oder kann diese Diskussion archiviert werden?--Christian1985 (Disk) 21:45, 15. Mai 2013 (CEST)

Ich denke, bis auf die Atome, die aber wohl sowieso erst mal einen eigenen Artikel bräuchten, sind die gröbsten Probleme hier ausgeräumt. -- HilberTraum (Diskussion) 20:48, 16. Mai 2013 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 08:55, 18. Mai 2013 (CEST)

Redundanz: Ultraprodukt und Satz von Łoś

Die obigen Artikel enthalten Redundanzen. In beiden stehen aber Dinge, die im anderen nicht stehen. Mein Vorschlag: Zuammenlegen unter Ultrapotenz, Los dort einarbeiten, von Los dann weiterleiten.--Frogfol (Diskussion) 19:13, 26. Aug. 2012 (CEST)

Unter Ultrapotenz? Das war doch ein Versehen, oder? --Chricho ¹ ² ³ 20:02, 26. Aug. 2012 (CEST)

ups, klar, ich meinte unter Ultraprodukt^^--Frogfol (Diskussion) 20:20, 26. Aug. 2012 (CEST)

Aber ansonsten einverstanden?--Frogfol (Diskussion) 23:39, 27. Aug. 2012 (CEST)

Ich bin mir unschlüssig. Prinzipiell ist das hier ja eine Enzyklopädie und kein Lehrbuch, weshalb eher pro Begriff ein Artikel vorhanden sein sollte. Und eine Aufteilung erscheint durchaus gut möglich, man sollte im Satz dann die Konstruktion des Ultraproduktes straffen und auf den Hauptartikel verweisen, und dafür den Beweis ausführlicher skizzieren. --Chricho ¹ ² ³ 12:35, 28. Aug. 2012 (CEST)

Mmh, ich meine auch in anderen Artikeln wird, nachdem ein Gegenstand eingeführt wurde, im selben Artikel die wichtigsten Sätze genannt und deren Beweis skizziert. (zB Basis (Vektorraum)) Das ist auch sinnvoll, da dann die Notation direkt übernommen werden kann und nicht mehr beim zweiten Beweisartikel wieder neu eingeführt werden musss. Gerade hier, wo der Beweis eine Indexschlacht wird, sollte mE die beiden Artikel zusammengeführt werden.--Frogfol (Diskussion) 19:49, 29. Aug. 2012 (CEST)

Der "Satz von Łoś" enthält Informationen, die man im Artikel über Ultraprodukte nicht erwarten würde, z.B. wann bewiesen, Angabe der Originalarbeit, wichtige Anwendungen. Ich (der Autor) hatte im Artikel "Satz von Łoś" nur soviel untergebracht, wie für die Formulierung des Satzes und dessen Anwendungen nötig ist (etwas präziser als im Artikel über Ultraprodukte, das kann von mir aus gestrafft werden), und das ist die einzige Redundanz. Der Spezialfall der Ultrapotenzen kommt nur im Artikel Ultraprodukt vor, nicht im "Satz von Łoś", weitere Beispiele für Ultraprodukte würde ich eher im Artikel über Ultraprodukte ansiedeln, weitere Anwendungsbeispiele des Satzes natürlich im Artikel zum Satz. Eine Zusammenlegung könnte die weitere Entwicklung der Lemmata sogar behindern. Die meisten wichtigen "Satz von XYZ" haben einen eigenen Artikel. Dass wichtige Sätze bei "ihren (?)" Begriffen erwähnt werden, gilt meistens nur für namenlose Sätze (ja es gibt Ausnahmen), siehe dazu Liste mathematischer Sätze. Ich sehe "Ultraprodukt" und "Satz von Łoś" als verschiedene Begriffe (ersteres kann ohne letzteres erklärt werden, das ist sogar der aktuelle Zustand), und das rechtfertigt meiner Meinung nach zwei Lemmata.--FerdiBf (Diskussion) 21:08, 29. Aug. 2012 (CEST)

+1--Kmhkmh (Diskussion) 23:09, 29. Aug. 2012 (CEST)

Überzeugt bin ich nicht. Ursprünglich wollte ich den Artikel "Ultraprodukt" weiterentwickeln. Der wichtigste Satz fehlte. Den wollte ich einfügen, dann die wichtigsten Korollare dieses Satzes: 1. dass das Ultraprodukt elemtar-äquivalenter Strukturen elementar-äquivalent zu den ursprünglichen ist und 2. dass die Einbettung einer Struktur in ihre Ultrapotenz elemtar ist. (So zB bei Jech, aber auch bei anderen) Dann hab ich gemerkt, dass der Satz von Los schon als Artikel existiert, hier aber nicht verlinkt war. Mir schwebte so ein Artikel wie in der englischen oder französischen Wikipedia vor.

Wenn ich den jetzt Plan umsetzte, dann entstehen weitere Redundanzen.

Der "Satz von Łoś" enthält Informationen, die man im Artikel über Ultraprodukte nicht erwarten würde, z.B. wann bewiesen, Angabe der Originalarbeit, wichtige Anwendungen

Also, wann bewiesen und Angabe der Originalarbeit kann man auch leicht in einer Zusammenführung einfügen, und es würde ja weitergeleitet von "Satz von Łoś", man würde auch die Informationen erwarten.

wichtige Anwendungen

Sry, ich sehe keine wichtigen Anwendungen. Die wichtigsten Anwendungen werden in den Standardwerken so wie oben erwähnt als Korollar bewiesen. Dass der Kompaktheitssatz aus dem Satz von Łoś folgt, ist zwar nicht unwichtig, braucht aber in der Fassung von Rautenberg und des Artikels mächtigere mengentheoretische Voraussetzungen. (Und einerseits kommt zwar Rothmaler ohne den Ableitbarkeitsbegriff aus, andererseits aber beweist er Löwenheim-Skolem (hoch und runter) sehr spät und ist gezwungen, Widerspruchsfreiheit - entgegen der üblichen Weise - semantisch zu definieren, "hat kein Modell") Die zweite Anwendung (im Artikel Satz von Los) ist eigentlich eher eine Anwendung des Kompaktheitssatzes. (Wahrscheinlich hätte ich die Beispiele nicht reingesetzt, sie sollten aber drin bleiben. Ich würde sie halt nicht "wichtige Anwendungen" nennen, sondern didaktisch sinnvolle Illustrationen.)

Dass Ultrapotenzen nicht im Satz von Los vorkommen, sehe ich nicht als Stärke, sondern als Schwäche des Artikels an. Wie gesagt, aus diesem Satz folgt, dass zB die Einbettung der reellen Zahlen in die hyperrellen Zahlen elementar ist. Und der allgemeine Sachverhalt (s.o) gehört in beide Artikel.

Dass die meisten Sätze einen eigenen Artikel haben, ist wohl richtig. Hier handelt es sich mE eher um Definition und Satz. So zumindest folgt das in den Lehrbüchern direkt aufeinander.

Wenn wir trotzdem es bei zwei Artikeln belassen wollen, schlage ich folgende Erweiterungen der Artikel vor:

1. Wir nehmen weitere Redundanzen in Kauf, beide Artikel werden um die Korollare ergänzt
2. Satz von Los wird ergänzt um (sehr) kurze Skizze zum Beweis (strukturelle Induktion + UF für Negation)
3. Satz von Los wird ergänzt um den Fall des reduzierten UP
4. Beide werden ergänzt um die Verallgemeinerung auf UP über kompakte Kardinalzahlen
5. UP werden erweitert um Eigenschaften wie Saturiertheit, also weitere Eigenschaften--Frogfol (Diskussion) 23:53, 3. Sep. 2012 (CEST)

Hier geht die Diskussion irgendwie nicht weiter. Die Standpunkte liegen doch gar nicht so weit auseinander. Minimale Redundanzen lassen sich nicht vermeiden. Der Artikel "Satz von Łoś" muss meiner Meinung nach nicht weiter ausgebaut werden, der von Frogfol angesprochene Beweis gehört ja eher nicht in diese Enzyklopädie, höchstens ins Beweisarchiv. Ferner wäre eine Erwähnung des Satzes von Łoś im Artkel "Ultraprodukt" eine hinnehmbare Redundanz, wenn man sich dabei tatsächlich auf ein Minimum beschränkt (mit Heinweis auf Hauptartikel zum Satz) und die Korollare, soweit sie Ultraprodukte und besonders deren Anwendungen in der Mengenlehre betreffen, im Artikel "Ultraprodukte" platziert. Im Wesentlichen stimme ich damit dem von Frogfol geplanten Vorgehen zu.--FerdiBf (Diskussion) 15:14, 13. Jan. 2013 (CET)

Da Frogfol leider seit September letzen Jahres nicht mehr bei Wikipedia aktiv war, gehe ich davon aus, dass diese Diskussion hier auch nicht weitergeführt werden kann. Ein ernsthaftes QS-Problem sehe ich hier auch nicht. Sicher kann man insbesondere den Artikel Ultraprodukt noch weiterentwickeln und sicher haben die beiden Artikel gewisse Überschneidungen. Aber diese Überschneidenungen halte ich nicht für dramatisch. Die Weiterentwicklung der Artikel kann meiner Auffassung nach auch ohne diese Diskussion hier stattfinden. Daher setze ich nun den Erledigt-Baustein. Eventuell könnte noch jemand auf die Artikeldiskussionsseite schreiben, wie hier geplant wurde den Artikel Ultraprodukt weiterzuentwickeln. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 00:26, 3. Jun. 2013 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 00:26, 3. Jun. 2013 (CEST)

Algebraische Struktur vs. Struktur (Modelltheorie) vs. Heterogene Algebra

Zum einen halte ich Struktur (Modelltheorie) für einen klaren QS-Fall. Der Artikel redet die ganze Zeit von Sprachen, auch wenn der eigentliche Artikelgegenstand an sich überhaupt nichts mit Sprachen zu tun hat und völlig unabhängig davon betrachtet werden kann. Worauf mit Sätzen wie „man kann nun über Wahrheit und Falschheit von Aussagen sprechen“ abgezielt werden soll, weiß ich nicht (also mir ist schon klar, was das heißen soll, aber wieso steht das da in dieser Form? Mit „können“, das ist misleading, das ist einfach eine ganz spezifische Belegung des Wortes „wahr“ in der Modelltheorie). Die Ziele der Definition sind verquer dargestellt. Irgendetwas definieren zu können, ist kein Ziel an sich, es kommt auf dessen Eigenschaften an. Und ansonsten steht da einfach nichts.

Warum ich die anderen Artikel mit ins Spiel bringe? Ich frage mich, wie da eine Aufteilung zu erfolgen hat. Schon das Lemma Struktur (Modelltheorie) erscheint mir ungeeignet, solche Strukturen werden genauso in der universellen Algebra behandelt, evtl. sind da die Bezeichnungen schonmal abweichend. Bei Grätzer (Universal Algebra) findet sich der Name relational system, ich kenne die Bezeichnung relationale Struktur. Die wichtigsten Begriffe erscheinen mir der der algebraischen Struktur im Sinne der ersten Definition des Artikels (also nur Funktionen) und der der relationalen Struktur. Ersterer erlaubt Homomorphismen und Substrukturen mit besonders angenehmen Eigenschaften, erlaubt equational logic (woran man sieht, dass dieser Begriff auch modelltheoretisch relevant ist), letzterer erlaubt eben eine einheitliche Handhabung auch deutlich vielseitigerer Strukturen. Und dann gibt es diese – ich erlaube mir einmal sie ekelhaft zu nennen, auch wenn sie wohl durchaus üblich sind – ekelhaften Mischformen wie sie im Moment in Struktur (Modelltheorie), heterogene Algebra und Algebraische Struktur#Variante 2 dargestellt sind. Am ehesten könnte ich mir im Moment zwei Artikel vorstellen, einmal die algebraische und einmal die relationale Struktur. Und in letzterer könnten dann die ekelhaften Fälle (das ist jetzt völlig wertfrei gemäß der Definition zu verstehen) als Spezialfälle abgehandelt werden. Meinungen? --Chricho ¹ ² ³ 20:09, 25. Aug. 2012 (CEST)

Wobei die letzteren beiden dieser drei ekelhaften vllt. doch eher als Verallgemeinerungen zur algebraischen Struktur passen. --Chricho ¹ ² ³ 21:12, 25. Aug. 2012 (CEST)

Ich finde auch, dass die Darstellung verbesserungsfähig ist. Aber: Es ist schon wichtig, dass man in der Modelltheorie Strukturen zur Verfügung hat, in denen sowohl Funktionen als auch Relationen als auch Konstanten vorkommen können. Hintergrund ist ja nicht nur, dass man z.B. es ärgerlich finden würde, wenn man eine Löwenheim-Skolem-Satz mit Henkin-Konstanten beweisen will und dann feststellen muss, es sollen keine Konstanten verwendet werden. Darüber hinaus gibt es eine ganze Reihe von Sätzen der Form "Wenn in der Sprache von $A$ keine Funktionszeichen vorkommen, dann ..." Auch darauf will man ja nicht verzichten.

Natürlich könnte man n-stellige Relationen durch n-stellige Funktionen nach {T,W} ersetzten und Konstanten durch 0-stellige Funktionen. Aber offensichtlich braucht es diese zusätzliche Komplizierung gar nicht, damit für Nicht-Logiker die Modelltheorie unverständlich wird.

Im Übrigen ist die Aussage, dass in der Modelltheorie Modelle nichts mit Sprache zu tun haben, schon eine ziemlich eigenwillige Sicht. Modelltheorie sieht sich als ein Teil der Mathematischen Logik. Daher geht es gerade um das Zusammenspiel formaler Sprachen und deren möglichen Interpretationen. Ich weiß, du hattest schon in den Anmerkungen zu Modelltheorie die Meinung vertreten, dass der Begriff "Semantik" hier nicht hingehört. Aber darum geht es gerade: man kann die Klasse der Modelle einer Theorie als extensionale Semantik dieser Theorie interpretieren und erhält auch da wieder schöne Sätze (Die Lindström-Sätze waren ursprünglich so formuliert).--Mini-floh (Diskussion) 21:24, 25. Aug. 2012 (CEST)

Klar es geht um das Zusammenspiel von zwei Konzepten. Und um dieses Zusammenspiel zu definieren, führt man erstmal diese beiden Konzepte unabhängig voneinander ein. Das, was maßgeblich für eine Struktur (Modelltheorie) ist, ist dabei aber nicht eine Sprache, sondern allein eine Signatur, und die ist der universellen Algebra natürlich auch nicht fremd. Die Wikipedia tut im Moment so, als würden die völlig unabhängige Strukturbegriffe haben, Unterschiede liegen aber höchstens in Details der verwendeten Begrifflichkeiten. Achja, noch ein ekelhaftes Konzept: partielle Algebren. Mir geht es darum, wie man auf die angemessenste Weise, die Sachen aufteilt, und im Moment ist es nicht angemessen. D. h. was haben wir jetzt für Unterscheidungen:

• Algebraische Struktur: nur Funktionen, „besonders saubere, algebraische Sache“
• Relationale Struktur: darin lässt sich alles problemlos einbetten (Funktionen sind bestimmte Relationen, bei der Modelltheorie hat man auch keine Probleme, sich nur auf solche zu beschränken, weil Funktion-sein sich leicht axiomatisieren lässt)
• Algebraische Struktur, Variante 2: Ich sehe nicht, was das in irgendeiner Weise beitragen soll, insbesondere zu dem Artikel, wo es steht, einfach ein Spezialfall von heterogene Algebra
• Heterogene Algebra: Allgemeinerer Fall, der immer noch „sauber algebraisch“ ist, Homomorphiesatz gibt es etc.
• Partielle Algebra: Mit partiellen Funktionen, momentan kein Artikel
• Struktur (Modelltheorie): allgemeine relationale Strukturen, wobei aber in der Signatur manche Relationen als Funktionen gekennzeichnet werden, darauf aufbauend anderer Substrukturbegriff und algebraische Strukturen sind als Spezialfall enthalten.

Bevor man sich dessen annimmt, wie das in Struktur (Modelltheorie) besser zu formulieren wäre (Sprache etc.), wäre eben zu klären, ob und wie man die auseinanderhält. Eine feste Meinung habe ich da nicht, womit ich mir nur mittlerweile recht sicher bin, ist, dass die Variante 2 da weg muss. Relationen durch Funktionen nach „{T,W}“ (true und wahr?) zu ersetzen, erscheint mir recht ekelhaft, mit technischem Aufwand verbunden. Wird das häufiger benutzt? Es müssen dann ja immer noch T und W gesondert gehandhabt werden. Die Betrachtung von Funktionen als Relationen erscheint mir dagegen „kanonisch“, wird ständig gemacht und ohne größere technische Umstände behalten die Begrifflichkeiten ihre Bedeutung. Deshalb erschien mir das am ehesten als Kandidat für die allgemeine Darstellung. Ich bin auch nicht davon überzeugt, dass eine Abhandlung als Spezialfall bei relationalen Strukturen das beste wäre, auch wenn ich das eben mal so als Option hingestellt habe, deshalb frage ich ja ;). Wenn man schon bei dieser Aufteilung ist, sollte man auch einen Artikelkandidaten Modell (Logik) oder so und den Artikel Interpretation (Logik) in die Überlegung miteinbeziehen, was die Lage aber nicht einfacher zu machen scheint. --Chricho ¹ ² ³ 22:56, 25. Aug. 2012 (CEST)

Vielleicht hilft ein Beispiel, den Sinn der komplizierten Definition zu erhellen:

Wenn man über $\mathbb {R}$ in der "normalen Mathematik" spricht, verwendet man offensichtlich am besten die Konstanten "0" und "1". Selbst wenn man das mit Hilfe entsprechend komplizierter Konstruktionen in jedem einzelnen Fall umschreiben kann (sinngemäß: "das eindeutig bestimmte Element e, so dass für alle x gilt "x + e = x"; ich habe das hier wieder mit einer Konstanten ausgedrückt, weil es nur mit Variablen zu umständlich wird) -- ein "normaler Mathematiker" macht das nicht. Er wird die Addition, Multiplikation und Inversenbildung als Funktionen behandeln und die Ordnung als Relation. Wenn die Modelltheorie hierzu Aussagen machen will, muss sie das entsprechende Vokabular bereithalten.

Will man Funktionen überall durch Relationen ersetzen, wird die Komplexität der verwendeten Formeln größer. Es gibt außerdem viel mehr Unterstrukturen, wenn man nur Relationen hat. Natürlich kann man dann die Unterstrukturen aussondern, die bestimmte zusätzliche Axiome erfüllen, aber das ist wieder zusätzliche Komplexität (bei $\mathbb {R}$ müsste man als erstes hinschreiben, dass man nur Unterstrukturen betrachtet, die die entsprechenden Elemente enthalten, wenn man die Konstanten "0" und "1" nicht verwendet). Die zusätzliche Komplexität ist in beiden Fällen nicht ein Problem an sich. Sie entspricht aber nicht normalem mathematischen Vorgehen. Sie macht daher die erhaltenen Ergebnisse für den Gebrauch außerhalb der so formulierten Theorie ziemlich sinnlos.

Zusammengefasst: in der Modelltheorie werden Strukturen mit Funktionen, Relationen und Konstanten erfolgreich verwendet. Da man auf das Lemma "Struktur (Modelltheorie)" vor allem kommt, wenn man im Zusammenhang mit Modelltheorie (z.B. beim Lesen des entsprechenden Lemmas) nicht sicher ist, was der Begriff dort bedeutet.Daher sollte die Erklärung so sein, wie sie in der Modelltheorie üblich ist. Da nützt oder stört es wenig, wenn es in anderen Disziplinen der Ausdruck "Struktur" fast aber nicht ganz gleichartig verwendet wird. Nur dann, wenn der Gebrauch genau gleich ist, kann man zusammenfassen. Eine allgemeine Theorie von "Struktur" ist ja eben durch den Zusatz "Modelltheorie" nicht gefragt!

--Mini-floh (Diskussion) 11:05, 26. Aug. 2012 (CEST)

Ich bin insgesamt eher Mini-flohs Meinung. Strukturen (auch Modelle) werden in der Modelltheorie nur mit Hinsicht auf eine Sprache definiert. Klar, in der Def kommt nur die Signatur vor, aber das Kapitel, in dem die Strukturen definiert werden, heißt dann doch meistens Semantik, was heißt, dass hier ein Bezug zur Sprache hergestellt werden soll.

Im Übrigen ist die Aussage, dass in der Modelltheorie Modelle nichts mit Sprache zu tun haben, schon eine ziemlich eigenwillige Sicht.signed

Ich bin insgesamt überrascht über die schlechte Qualität der Artikel über Logik hier in der wikpedia. Die Definition ist zwar gut (und ist ähnlich wie zB bei Prestel). Die Einleitung ist aber blabla, falsch (auch sprachlich) und TF, außerdem sollte man den Artikel präzisieren (mit beliebigen Indexmengen) und den Wahrheitsbegriff rausnehmen. Dann muss man aber zugleich schauen, dass er oma- bzw. physikertauglich bleibt.

Die Modelltheorie kommt so viel ich weiß ohne die universelle Algebra aus. Wenn wir hier Theorien vereinheitlichen oder zumindest ein wenig zusammenführen wollen, betreiben wir TF. Ich würde die Begriffe hier so definieren, wie sie in den mathematischen Teildisziplinen definiert werden. Redundanzen werden dadurch nicht entstehen, sondern höchstens abgebildet, das ist aber OK. Verlinkungen können ja gesetzt werden.

Also, mein Ziel ist: Struktur (Modelltheorie) zu behalten und zu verbessern, zur universellen Algebra kann ich nicht viel sagen.

Der verlinkte Artikel hier Elementare Sprache ist mE übrigens auch ein Fall für die QS.--Frogfol (Diskussion) 13:25, 26. Aug. 2012 (CEST)

(BK) Ja, darauf hatte ich schon hingewiesen mit den Substrukturen. Bloß Substrukturen, die weiterhin gewisse Axiome erfüllen, betrachtet man so oder so, deshalb ist das keine neue Verkomplizierung. Wenn man von $\mathbb {R}$ in der normalen Mathematik spricht, kümmert man sich übrigens meistens eher nicht um Konstantensymbole, und führt Inversenbildung gesondert ein (schonmal so eine Definition eines Körpers gesehen?), damit man das alles in equational logic formulieren kann, sondern man spricht einfach von Teilkörpern – bzgl. + und · abgeschlossene Teilmengen, die wiederum die Körperaxiome erfüllen. Und jeder Mathematiker lernt im ersten Semester, dass eine Funktion als Relation aufgefasst werden kann. Sogar bei der Definition einer Gruppe ist es nicht unüblich, von einem Pseudo-Magma auszugehen und die Abgeschlossenheit explizit als Axiom zu fordern. Zur Funktionen/Relationen/Konstanten-Variante: Bitte sehr, Verwendungen unabhängig von Modelltheorie: [6] [7]. Im Universelle-Algebra-Buch von Bjarni Jónsson wird eine Struktur auch genau so definiert. Umgekehrt findet sich auch der Gebrauch des Wortes Modell für ausschließlich relationale Strukturen. Die Variante, dass man zusätzlich zu Funktionen, Relationen und Konstanten auch noch partielle Funktionen als gesondert ausgezeichnet zulässt, gibt es auch noch. Gut, es ist wohl durchaus so, dass die Funktionen/Relationen/(Konstanten)-Variante insbesondere in der Modelltheorie benutzt wird. Vielleicht ist es deshalb tatsächlich das beste, für diese Variante einen eigenen Artikel zu haben. Aber ich hoffe du verstehst, wieso ich angesichts der Vielfalt der ähnlichen Begriffe danach frage, wie man das am besten darstellt.

@Frogfol Mit dem „hat nichts mit Sprachen zu tun“ wollte ich im Wesentlichen nur sagen, dass man nur von der Signatur sprechen soll, und das, was du auch gerade sagtest: Das blabla von Wahrheit etc. muss raus. Dass man da nur Redundanzen abbilden würde: Ich hoffe, es ist jetzt hinreichend dargestellt worden, dass Struktur (Modelltheorie) genauso ein Begriff der universellen Algebra ist. Ist ja auch nicht so, dass die beiden Disziplinen aneinander vorbeileben würden, nein, sie sind eng verwoben und verwenden tatsächlich identische Konzepte. Wie genau das jetzt historisch abgelaufen ist, weiß ich allerdings nicht. Aber darzustellen, wie relationale Struktur, algebraische Struktur und diese Mischung zusammenhängen, ist ja wohl keine TF. --Chricho ¹ ² ³ 14:05, 26. Aug. 2012 (CEST)

^^TF war sicherlich übertrieben, ich hatte aber irgendwie den Eindruck, dass du vereinheitlichen wollest.Mein Zugang ist:

Schauen, wie in der Modelltheorie eine Struktur definiert wird, dann das so im Artikel umsetzen.

Dasselbe könnte man in der UA machen, da kenne ich mich aber nicht so aus. Wenn man dann Gemeinsamkeiten entdeckt, kann man die verlinken. Aber dass unterschiedliche Strukturbegriffe definiert werden, ist gewissermaßen nicht mein Problem, ich würde das dann einfach nur abbilden. Ich glaube, für die MT sind wir aber einer Meinung.--Frogfol (Diskussion) 18:44, 26. Aug. 2012 (CEST)

Mein Vorschlag wäre jetzt der Folgende: Aufteilung so belassen, für Struktur (Modelltheorie) ein anderes Lemma wählen und den Artikel umkrempeln. Einleitung auf anständige Weise neu machen, dann die Definition. Dann der Bezug zu Sprachen. Und dann auf Begriffe wie relationale/algebraische Struktur eingehen, und, dass man die Sachen da einbetten kann, eingehen. Erwähnen, dass man noch partielle Funktionen zulassen kann. Substrukturen, Homomorphismen. In Algebraische Struktur die Variante 2 ersatzlos streichen. Noch eine Frage: Hast du eine Meinung zu nicht-first order-Strukturen? Es gibt diese Henkin-Modelle oder die Bourbaki’schen Strukturen. --Chricho ¹ ² ³ 14:48, 27. Aug. 2012 (CEST)

für Struktur (Modelltheorie) ein anderes Lemma wählen und den Artikel umkrempeln

Ich kenn als deutsches Buch nur den Prestel, der spricht von Strukturen. Welches andere Lemma willst du denn benutzen? Zu Modellen von anderen Sprachen kann ich nichts sagen.--Frogfol (Diskussion) 23:34, 27. Aug. 2012 (CEST)

Hm, das ist schwierig. First-Order-Struktur? Ist so Denglisch. :S „Strukturen erster Stufe“ scheint es nicht zu geben, wenn ich danach suche. Die heißen fast immer nur Struktur, und „Struktur (Modelltheorie und universelle Algebra)“ will ja wohl wirklich niemand, „Struktur (Mathematik)“ geht nicht, und alles ist natürlich besser als das alte S-Struktur, das war einfach nur falsch. Das heißt du wärst mit dem Plan soweit einverstanden, was ich beim letzten Mal gesagt habe, oder besteht bei deinem Vorschlag ein entscheidender Unterschied, den ich übersehen habe? --Chricho ¹ ² ³ 23:45, 27. Aug. 2012 (CEST)

Soweit einverstanden. Aber den Namen find ich OK, denn ich hab den Eindruck, dass er so auch in der Literatur benutzt wird.--Frogfol (Diskussion) 00:35, 28. Aug. 2012 (CEST)

Wie wäre es mit Struktur (erste Stufe)? An klammerlosen Begriffen finde ich keine etablierte deutsche Bezeichnung (first-order-Struktur ist hässlich, Struktur erster Stufe/Ordnung nicht etabliert) und eine Abgrenzung nach Fachgebiet ist schlicht nicht möglich, da es auch Strukturen höherer Ordnung in der MT gibt, und die erster auch in der UA. Daher halte ich das für den gangbarsten Weg. --Chricho ¹ ² ³ 12:30, 28. Aug. 2012 (CEST)

Habe schonmal verschoben und Einleitung und Definition angepasst. Die Definition verzichtet jetzt schonmal auf den Signaturbegriff, dafür allerdings steht da jetzt so ein formales $f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A$ statt „$n$-stellige Funktion $f$“. Sollte man das mit mehr Prosa formulieren? Außerdem habe ich im Quelltext lange auskommentierte Passagen wieder sichtbar gemacht, bin mir bei vielen Stellen aber noch unsicher, wie sinnvoll sie sind (auf ewig auskommentiert sein sollten sie aber jedenfalls nicht). --Chricho ¹ ² ³ 15:53, 31. Aug. 2012 (CEST)

Ich bin über die Abarbeitung der WP:QS-BKS der Seite Struktur auf diese Diskussion gestoßen. Ich verstehe die Einwände gegen die Klammerung Struktur (Mathematik), möchte aber anmerken, dass die Klammerung ja bloß den Zweck erfüllt, verschiedene mit demselben Wort bezeichnete Begriffe zu unterscheiden und inhaltlich gar nichts beiträgt; jedenfalls halte ich Struktur (erste Stufe) für sehr unglücklich. --Michileo (Diskussion) 03:37, 5. Apr. 2013 (CEST)

Die von mir überarbeitete BKS Struktur enthält drei mathematische Einträge:

• Algebraische Struktur, Untersuchungsgegenstand der universellen Algebra
• Struktur (erste Stufe), Grundbegriff der Modelltheorie und universellen Algebra
• Hierarchie mathematischer Strukturen, mathematische Strukturen.

Da nur ein mathematischer Artikel das Lemma „Struktur“ trägt, halte ich die Klammerung Struktur (Mathematik) für möglich, wiewohl ich wie gesagt die Einwände verstehe. --Michileo (Diskussion) 04:04, 5. Apr. 2013 (CEST)

Oder vielleicht Struktur (mathematische Logik)? --Michileo (Diskussion) 14:09, 5. Apr. 2013 (CEST)

Man sollte sich bei Klammerzusätzen nicht nur daran orientieren, welche Artikel es gibt, sondern auch daran, welche es in Zukunft noch sinnvollerweise geben sollte. Und weder mit „(mathematische Logik)“, noch mit „(Modelltheorie)“ ist das eine eindeutige Angelegenheit. Und dass die UA nicht dazu gehört, kommt noch dazu. „(erste Stufe)“ mag nicht für jeden sofort ersichtlich sein, was es damit auf sich hat, aber eine bessere Lösung sehe ich weiterhin nicht. --Chricho ¹ ² ³ 14:57, 5. Apr. 2013 (CEST)

Welche Artikel könnte es denn künftig noch geben?--Michileo (Diskussion) 15:06, 5. Apr. 2013 (CEST)

Mir fiele da ein: Zu Strukturen nach Bourbaki, zu Henkin-Strukturen, zu infinitären Strukturen und zum informellen Strukturbegriff der Mathematik (wozu der Artikel Hierarchie mathematischer Strukturen eine Liste anbietet). --Chricho ¹ ² ³ 15:16, 5. Apr. 2013 (CEST)

Den Artikel „Struktur (erste Stufe)“ halte ich für mangelhaft: siehe Diskussion:Struktur (erste Stufe)#Verbesserungsvorschläge. Außerdem sollte er nach „Relationale Struktur“ verschoben werden, wo bisher eine Weiterleitung auf diesen Artikel besteht.

Beim Artikel „Hierarchie mathematischer Strukturen“ finde ich den Titel auch nicht gut: Eigentlich werden nur die verschiedenen Strukturen, die in der Mathematik relevant sind aufgeführt, eine richtige Hierarchie (Ordnung) sehe ich da nicht! Hierfür wäre der Titel „Struktur (Mathematik)“ oder „Mathematische Struktur“ sinnvoller. --RPI (Diskussion) 14:11, 10. Aug. 2013 (CEST)

Eine solche Verschiebung sollte es nicht geben, denn eine relationale Struktur ist ein Spezialfall einer Struktur im Sinne des Artikels „Struktur (erste Stufe)“, umgekehrt ist das nicht der Fall. Und die meisten Einführungen in die mathematische Logik verwenden diesen Strukturbegriff und beschränken sich nicht auf relationale Strukturen.

Ein Artikel „Struktur (Mathematik)“ wäre in der Tat gut. Da müsste man allerdings auch ein wenig recherchieren zur Geschichte der Mathematik, zum Einfluss dieser Konzeption, zu philosophischen/metamathematischen Überlegungen… da gibt es denke ich einiges. --Chricho ¹ ² ³ 14:25, 10. Aug. 2013 (CEST)

Nach der Definition im Artikel „Struktur (erste Stufe)“ ist eine Struktur (erster Stufe) eine Trägermenge mit einer Familie von Relationen, d.h. nichts anderes als eine relationale Struktur: Von einem Spezialfall kann also keine Rede sein! Der Spezialfall einer relationalen Struktur, die keine funktionale Relation (= partielle Funktion oder Funktion) enthält, halte ich für keine hinreichend allgemeine Definition einer relationalen Struktur. Übrigens: Eine relationale Struktur ist eine ziemlich allgemeine mathematische Struktur, es ist also völlig unnötig, sich auf die formale Logik zu beschränken.

Die Einteilung der grundlegenden mathematischen Strukturen in algebraische, topologische und geordnete Strukturen geht wohl auf Nicolas Bourbaki zurück. Die Geometrie fällt dabei allerdings aus dem Rahmen und kommt noch dazu. --RPI (Diskussion) 19:18, 10. Aug. 2013 (CEST)

Bourbaki hat eine solche Einteilung meines Wissens nach nicht vorgenommen, das waren lediglich seine Standardbeispiele im Band 0 der Éléments de mathématique. Nach der Definition im Artikel Struktur (erste Stufe) ist eine Struktur eine Trägermenge mit einer Familie von Relationen und einer Familie von Funktionen. Das ist etwas anderes. --Chricho ¹ ² ³ 19:30, 10. Aug. 2013 (CEST)

Das mit Bourbaki habe ich in einem Buch gelesen, das muss deshalb jedoch nicht stimmen – ist aber auch nicht so wichtig.

Zur „Struktur (erste Stufe)“: Wieso ist das etwas anderes? Funktionen sind spezielle Relationen, also hat man zwei Familien von Relationen, die zu einer Familie zusammengefasst werden können. --RPI (Diskussion) 01:48, 11. Aug. 2013 (CEST)

Klar, ist nicht wichtig. Aber mir hatte das schonmal jemand gesagt, und dann hab ich bei Bourbaki nachgeguckt und das nirgends so gefunden, sondern immer nur Beispiele, kein Klassifikationsversuch. Würde auch nicht passen, weil er selber zum Beispiel viel Wert auf uniforme Strukturen gelegt hat, die da nicht rein passen.

Das ist etwas anderes, weil bei der Zusammenfassung zu einer Familie die Information verlorengeht, dass es sich um Funktionen handelt, die Signatur ist eine andere – und das hat Auswirkungen darauf, wie Homomorphismen zwischen den Strukturen aussehen, was Substrukturen sind, und wie logische Formeln in der entsprechenden Sprache aussehen. Im Sinne einer klarerer strukturierten Behandlung kann es sinnvoll sein, nur relationale Strukturen zu betrachten, während die Extra-Behandlung der Funktionen zusätzlicher Ballast ist (auch mein ästhetisches Empfinden fühlt sich da nicht immer ganz wohl). Aber es kann eben auch nützlich sein und wird in den Gebieten, die sich mit solchen Strukturen allgemein befassen (Modelltheorie/Logik, universelle Algebra), auch üblicherweise gemacht – daran halten wir uns hier einfach. Grüße --Chricho ¹ ² ³ 02:05, 11. Aug. 2013 (CEST)

Dass eine n-stellige Funktion als eine (n+1)-stellige Relation eine andere Signatur hat, hatte ich selbst schon in unserer Diskussion:Struktur (erste Stufe)#Verbesserungsvorschläge dargelegt. Ebenso, dass eine relationale Struktur nicht weniger allgemein ist als eine „Struktur (erste Stufe)“.

Ich habe aber noch einmal darüber nachgedacht und halte es nun für das sinnvollste, einen Artikel „Relationale Struktur“ ähnlich dem „Algebraische Struktur“ an Stelle der Weiterleitung zu verfassen und „Struktur (erste Stufe)“ zu belassen. Dann kämen beide Schreibweisen zu ihrem Recht und man könnte jeweils mit entsprechenden Erklärungen auf die andere verweisen. Grüße --RPI (Diskussion) 22:03, 11. Aug. 2013 (CEST)

Es handelt sich nicht nur um eine Schreibweise, es sorgt für einen anderen Begriff von Substrukturen. Ich bezweifle ja, dass sich über relationale Strukturen etwas zusätzlich schreiben lässt, was nicht sowieso auch im Artikel Struktur (erste Stufe) stehen sollte, da sollte man meines Erachtens auch ohnehin darauf eingehen, dass es in vielen Fällen ausreicht, relationale Strukturen zu betrachten. Insofern würde sich ein eigener Artikel nicht lohnen. --Chricho ¹ ² ³ 22:15, 11. Aug. 2013 (CEST)

In der Definition einer Struktur erster Stufe kommen aber nur endlichstellige Relationen und Funktionen vor – was ist mit unendlichstelligen Relationen und besonders Funktionen? Eine Struktur erster Stufe $(A,(f_{i}),(R_{j}))$ ist nicht die allgemeinste Struktur, sie enthält aber eine algebraische Struktur $(A,(f_{i}))$ und eine relationale Struktur $(A,(R_{j}))$ mit endlichstelligen Relationen. --RPI (Diskussion) 10:18, 12. Aug. 2013 (CEST)

Ja und? Hat jemand behauptet, dass es keine allgemeineren Strukturbegriffe gäbe? Es ist allerdings eine Verallgemeinerung algebraischer und relationaler Strukturen (und man spricht dort nicht von „Enhaltensein“, sondern davon, dass $(A,(f_{i}))$ ein Redukt von $(A,(f_{i}),(R_{j}))$ ist). --Chricho ¹ ² ³ 10:23, 12. Aug. 2013 (CEST)

Dann heißt das eben „Redukt“, „Enthaltensein“ ist deshalb nicht falsch. Die Endlichstelligkeit der Funktionen einer algebraischen Struktur steckt im Wort „algebraisch“, deshalb ist eine Struktur $(A,(f_{i}))$ mit nicht endlichstelligen Funktionen $f_{i}$ auch keine algebraische Struktur im eigentlichen Sinn. Eine Struktur $(A,(R_{j}))$ heißt „relational“, weil die Struktur auf $A$ durch die Relationen $R_{j}$ gegeben ist, aber die sind im Allgemeinen nicht endlichstellig. --RPI (Diskussion) 14:25, 12. Aug. 2013 (CEST)

In nahezu aller Literatur, die ich kenne, heißt „relationale Struktur“ „Struktur bestehend aus endlichstelligen Relationen über einem Universum“. Beispiele: Grätzer, Universelle Algebra oder Hodges, Model Theory. Ein altes Buch von Bjarni Jónsson lässt auch Funktionen im Begriff der relationalen Struktur zu. Ich halte es nicht für unwahrscheinlich, dass es auch irgendein Werk gibt, dass infinäter relationale Strukturen einfach relationale Strukturen nennt. Aber das sind exotische Themen und die am weitesten verbreitete Bedeutung von „relationale Struktur“ ist die, die sich so auch hier im Artikel findet. Ich lasse mich gerne vom Gegenteil überzeugen. --Chricho ¹ ² ³ 14:40, 12. Aug. 2013 (CEST)

So. Algebraische Struktur ist jetztt meines Erachtens gut in Schuss, aufgeräumt. Heterogene Algebra ist nunmal ein Stub und das Kapitel Typentheorie wollen wir jetzt lieber nicht anbrechen. An Struktur (erste Stufe) habe ich gerade weitergearbeitet, die Struktur sollte nun zu erkennen sein, ich werde morgen noch etwas über Homomorphismen spendieren, über die haben wir nun zum Glück einen ordentlichen Artikel. Trifft das Vorgehen auf Zustimmung? Unsicher bin ich mir dabei, wie es mit der Erwähnung von Verallgemeinerungen aussieht. Es gibt einfach zu viele Richtungen der Verallgemeinerung, und die sind nicht einmal orthogonal zueinander:

• Heterogene Strukturen
• Strukturen mit Werten in Heyting-Algebren o. ä.
• Strukturen höherer Ordnung
• Kripke-Strukturen
• …diverse kategorientheoretische Verallgemeinerungen

Auf der einen Seite wäre es wohl gut, zu sagen, wo die Grenzen dieser Strukturbegriffe sind, und wohin sie sich abgrenzen. Aber man kann ja nicht all solches Zeug dort aufzählen? Ich denke, es braucht einen Artikel Mathematische Struktur, wo all diese Dinge, der informelle Begriff und auch zum Beispiel Internalisierungen oder Strukturen im Sinne von Bourbaki vorgestellt werden könnten. Meinungen? --Chricho ¹ ² ³ 03:03, 14. Jan. 2014 (CET)

Ach herrje, jetzt habe ich es vergessen und auch überhaupt keine Lust. Mag vllt. jemand einen kurzen Abschnitt zu Homomorphismen schreiben? Es gibt ja den Hauptartikel… Dann könnten wir das hier mal endlich abschließen. --Chricho ¹ ² ³ 19:57, 8. Feb. 2014 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Café Bene (Diskussion) 08:20, 2. Mai 2014 (CEST)

Kompaktheit (Logik)

Der Begriff der Kompaktheit wird in den mir bekannten Logikbüchern nur im Sinne des Kompaktheitssatzes benutzt. Hier wird er syntaktisch definiert, was zu dem komischen Ergbnis führt, dass die Prädikatenlogik 2ter Stufe zwar kompakt ist, in ihr der Kompaktheitssatz nicht gilt. Es wird hier kein Literaturhinweis gegeben, wo sich der Begriff findet. Ich hab hier den Verdacht, dass es den Begriff zumindest in der gängigen Literatur der mathematischen Logik nicht gibt, höchstens irgendwo als Idiosynkrasie. --Frogfol (Diskussion) 01:09, 23. Aug. 2012 (CEST)

Hm, ja, das ist etwas seltsam, der Kompaktheitssatz besagt dann, dass $\vDash$ kompakt ist. Frag mich, wo der Autor das her hat. --Chricho ¹ ² ³ 01:17, 23. Aug. 2012 (CEST)

Hab den Autor auf seiner disk angesprochen, vielleicht erfahren wir dann mehr.--Frogfol (Diskussion) 13:47, 26. Aug. 2012 (CEST)

Also ich habe keine prinzipiellen Bedenken, diesen Begriff darzulegen. Man müsste dann nur mehr darauf eingehen, dass das eben für so „Beweisbarkeits-Operatoren“, die mit einem Beweiskalkül definiert sind, wo natürlich nur endliche Sätze zugellasen sind, trivial ist, während für die modelltheoretische Implikation ein entscheidender Satz ist, der auch nicht überall gilt. --Chricho ¹ ² ³ 19:38, 27. Aug. 2012 (CEST)

Du hast wahrscheinlich recht. Mir wäre ja lieber eine Löschung oder eine Entfernung der Kategorie: mathematische Logik. Aber wahrscheinlich existieren irgendwelche apokryphen Quellen. Und der Artikel ist ja auch auf vielen Artikeln der philosophischen Logiken verlinkt.--Frogfol (Diskussion) 00:41, 28. Aug. 2012 (CEST)

Wenn sich der Begriff aber wirklich auch auf $\vDash$ anwenden lässt (also das tut er, ich meine, wenn das gemacht wird in den Apokryphen), dann sollte man entsprechend umformulieren und von allgemeinen Relationen von Formelmengen und Formeln sprechen und nicht von Ableitbarkeitsrelationen. --Chricho ¹ ² ³ 14:50, 2. Sep. 2012 (CEST)

Ich möchte darauf hinweisen, dass in der "Abstract Model Theory" (die vielleicht nicht jedem bekannt ist) die Kompaktheit einer Logik durchaus vorkommt. Der Zusammenhang ist dann von der Form:

"hat eine Logik bestimmte Eigenschaften ..., dann gilt ...". Unter diesen Eigenschaften kann Kompaktheit im Sinn des Lemas vorkommen. Natürlich ist die normale Logik erster Stufe (und zum Glück viele andere) kompakt.

Allerdings gebe ich zu, dass das dort normalerweise semantisch formuliert wird, weil man nicht um Ableitungskalküle, sondern um Modelle kümmert:

"For $\kappa \geq \lambda \geq \aleph _{0}$, ${\mathcal {L}}$ is $(\kappa ,\lambda )$-compact if for all $\tau$ and $\Phi \subseteq {\mathcal {L}}[\tau ]$ of power $\leq \kappa$, if each subset of $\Phi$ of power $<\lambda$ has a model then $\Phi$ has a model" heißt z.B. eine entsprechende Definition in J.Barwise, S.Feferman, Model-Theoretic Logics (1985), p 59.

Ich hoffe, auch die Formulierung überzeugt die Diskussionsteilnehmer, dass es sich um mathematische Logik handelt! --Mini-floh (Diskussion) 16:50, 2. Sep. 2012 (CEST)

Das möchte ich keineswegs bezweifeln. Aber die Identität mit dem Begriff im Sinne des Kompaktheitssatzes ist nicht geklärt. Gibt es tatsächlich einen einheitlichen Kompaktheitsbegriff, der auf Ableitbarkeitsrelationen wie auf semantische Implikationen angewandt wird? --Chricho ¹ ² ³ 18:06, 2. Sep. 2012 (CEST)

Diese Formulierung „Intuitiv lässt sich das Prinzip wie folgt rechtfertigen: Ableitungen, also Beweise müssen endliche Objekte sein, denn sie dienen Menschen dazu, sich und andere von der Wahrheit einer Aussage zu überzeugen. Kein Mensch kann aber einen unendlich langen Beweis in sich aufnehmen.“ klingt natürlich weniger so. Ich frage mich, wieso man in dem Artikel dafür argumentieren sollte, dass ein Beweis endlich lang sein soll. Das ist doch nicht Gegenstand des Artikels, aber wenn man eben nur endliche Beweise zulässt, dann gilt Kompaktheit. Und zwar für den Mathematiker wie für den Philosophen, das scheint mir das Wesentliche zu sein. --Chricho ¹ ² ³ 18:14, 2. Sep. 2012 (CEST)

Ich möchte folgende Anmerkungen machen:

1. Es ist in Wikipedia zunehmend Mode geworden, dass hier Mathematiker Artikel über Mathematik schreiben (was gut ist), die den mathematik-internen Slang und die dort üblichen Kurzformen ohne Rücksicht auf die intendierte Leserschaft (hier wohl: nicht "die Oma", aber gebildete Nicht-Mathematiker) verwenden (was schlecht ist). Man strebt an jeder Stelle volle Allgemeinheit und Vollständigkeit, auch wenn das für Nichtmathematiker völlig unerheblich ist. Dazu gehört auch, dass immer mehr versucht wird, Beweise vollständig im Artikel unterzubringen - einschließlich der Bemerkung "Den Beweis dieses Lemmas sparen wir uns hier".

Im Abschnitt "Erläuterung" des Artikels wird versucht, dem Nicht-Mathematiker eine Vorstellung davon zu geben, worum es geht. Ob das gelungen ist, ist die Frage, um die es hier in erster Linie geht. Aber wenn man jeden derartigen Versuch sofort als "Philosophie" verunglimpft und entfernen will, kann man sich Mathematik-Artikel in Wiki auch gleich sparen. Der Fach-Mathematiker wird direkt zum entsprechenden Lehrbuch greifen und der Nicht-Mathematiker versteht sowieso nichts.

2. Man braucht nicht "einen einheitlichen Kompaktheitsbegriff", sondern man muss sich nur jeweils klar machen, wo die Topologie herkommt. Das ist für den Fachmann eigentlich evident:

a) Wenn man die Links im Artikel verfolgt, kommt man sehr schnell zu der Formulierung, dass der Inferenz-Operator in einer "normalen" Logik ein Hüllenoperator ist. Da klingelt es hoffentlich beim Mathematiker: die erzeugte Topologie ist (im Fall der Logik erster Stufe) kompakt.

b) Für die Topologie bei der semantischen Implikation erster Stufe: man erzeugt auf der Klasse aller Strukturen eine Topologie, indem man die Klassen von Modellen, in denen ein Satz $\phi$ gilt, als offen-abgeschlossene Mengen nimmt. Man kommt sehr schnell zum Stone-Raum der B.A., die durch die Sätze erzeugt wird. Der ist nach bekannten Sätzen kompakt.

Für den Nicht-Mathematiker sollte aber ein Text bereit gehalten werden, der auf diesen Aufwand verzichtet. Nochmals: ob das gelungen ist, ist die Frage, die hier diskutiert werden muss, nicht ob es aus irgendwelchen übergeordneten mathematischen Überlegungen heraus angeblich besser wäre, hier allgemeiner zu formulieren oder Zusammenhänge gleich unterzubringen, die für den Mathematiker interessant sind. Wer so etwas für notwendig hält, kann einen weiteren Unterpunkt "Zusammenhänge mit anderen Begriffen" anhängen, der nur für "Spezialisten" da ist.

3. Wieder eine andere Frage ist, ob man ein eigenes Lemma zum Thema braucht und da ist nicht das Gefühl oder ein "Verdacht" von Außenstehenden gefragt, sondern die tatsächliche Verwendung des Begriffs. Und der Begriff wird in der entsprechenden Fachliteratur häufig verwendet. Die Verwendung des Begriffs in diesem Zusammenhang wurde wohl von A.Tarski initiiert, der zwar (zum Glück) philosophisch interessiert war, aber auch Nicht-Logikern unter den Mathematikern bekannt sein könnte. Sie ist also nicht wirklich "apokryph". Das beantwortet aber die oben gestellte Frage, "wo der Autor das her hat".

(Meine persönliche Ansicht wäre: sogar wenn der Begriff oft genug nur in "apokryphen" Texten auftritt, sollte man ein Lemma haben, auf das man verlinken kann um ihn verständlich zu erklären.)

Schlecht ist allerdings am Artikel, dass keinerlei Quellen angegeben werden (der Hinweis auf Tarski findet sich nur im Artikel "Inferenzoperation" des gleichen Autors), aber um das zu markieren ist eigentlich ein anderer Textbaustein vorhanden.--Mini-floh (Diskussion) 10:43, 3. Sep. 2012 (CEST)

Es ist doch eine natürliche Frage, ob der hier dargestellte Kompaktheitsbegriff sich auch auf den im Sinne des Kompaktheitssatzes bezieht? Du selbst hast auf semantische Folgerungen zielende Kompaktheitsbegriffe angeführt. Eine Rückführung auf topologische Kompaktheit erscheint mir übrigens unmöglich: Nehmen wir eine Logik, die keinerlei Schlüsse zulässt mit einer unendlichen Formelmenge, dann ist die vom Inferenzoperator erzeugte Topologie diskret und daher nicht kompakt, wohl aber liegt Kompaktheit im Sinne dieses Artikels vor. --Chricho ¹ ² ³ 11:04, 3. Sep. 2012 (CEST)

Bei der von mir oben zitierten Stelle wird sich außerdem wohl jeder aufmerksame Leser wundern, wieso er im Kopf unendlich viele Prämissen haben können, eine Verwendung unendlich vieler aber unmöglich sein soll. --Chricho ¹ ² ³ 11:11, 3. Sep. 2012 (CEST)

Dass der Begriff Kompaktheit in der Logik vorkommt, wurde nie bestritten. Ich kenn den genau so, wie er oben in der mathematischen Logik definiert wird. Hier wird er vollkommen anders, syntaktisch definiert. Und das wird gerade den Anfänger, der wenig Ahnung von Logik hat, verwirren. Denn, wie gesagt, ist die Prädikatenlogik zweiter Stufe dann kompakt, aber der Kompaktheitssatz gilt nicht, außerdem ist sie nicht kompakt im Sinne von Barwise. Schau die mal die disks zu den (Un-)Vollständigkeitssätzen an. Da merkt man, dass die Leute schon Probleme haben, die Bedeutung der beiden Sätze auseinander zu halten. Den QS-Baustein hab ich deswegen darauf gesetzt, das ist mehr, als wenn nur die Quellen fehlen. Dass Tarski eine ähnliche Definition von kompakt hatte, ist nur bedingt relevant. Auch Cauchy etwa hatte einen anderen Funktionenbegriff als den, den wir heute benutzen. Wikipedia bildet heutiges Wissen ab, und in der mathematischen Logik wird der Begriff heute nicht mehr so verwendet. Wenn wir relevante Werke finden, wo der Begriff so definiert wird, können wir das ja so lassen. Aber dann sollte die Definition der mathematischen Logik ergänzt werden. Und nein, es sollten eben nicht alle Begrifflichkeiten apokrypher Werke in Lemmas auftauchen, sonst würde es vor Idiosynkrasien nur so wimmeln, letzlich gibt es die rk.

Wie also weiter verfahren? Meinetwegen könnte man sagen, dass der Begriff so in der philosophischen Logik definiert wird und dass die Eigenschaft dann schon aussagenlogisch aus der Definition folgt. Dann die Definition der mathematischen Logik angeben. Dann die Prädikatenlogik 2. Stufe als Beispiel anfügen, die kompakt in dem einen, aber nicht in dem anderen Sinne ist.--Frogfol (Diskussion) 23:11, 3. Sep. 2012 (CEST)

Ja, und das Beispiel ist schlecht, aber es lässt sich sicherlich verbessern. Und klar, es lassen sich auch topologische Räume für die meisten Logiken finden, wo der Begriff "Kompaktheit" dann präzisen Sinn ergibt.--Frogfol (Diskussion) 23:15, 3. Sep. 2012 (CEST)

+1. Für inhaltliche Debatten ist WP-QS eigentlich der falsche Ort. Bis jetzt steht der Artikel völlig ohne Belege da. Falls das so bleibt, ist er schlicht zu löschen. Falls es Belege gibt, sollten die Definitionen denen entsprechend geschrieben werden. Falls es konkurrierende Definitionen gibt, wäre entweder darüber zu diskutieren, welches die allgemein akzeptierte ist, oder es wäre im Artikel auf die Unterschiedlichkeit der Ansätze einzugehen. Es ist nicht unsere Aufgabe, hier die "beste" Definition zu finden.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 12:09, 30. Okt. 2014 (CET)

Außerdem sollte man Kompaktheitssatz in eine BKS umwandeln (und den jetzigen Artikel auf Kompaktheitssatz (Logik) verschieben). Es gibt eine Reihe weiterer Kompaktheitssätze: 1079 Treffer im Mathscinet, immerhin 154 Treffer mit "compactness Theorem" im Titel, von denen die meisten mit Logik nichts zu tun haben. In der en-wp haben zum Beispiel en:Gromov's compactness theorem (geometry) und en:Gromov's compactness theorem (topology) (trotz des Namens zwei völlig unterschiedliche Sätze, der zweite hat eher mit symplektischer Geometrie als mit Topologie zu tun) jeweils einen eigenen Artikel.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 12:37, 30. Okt. 2014 (CET) Diesen Teil jetzt umgesetzt: Kompaktheitssatz.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 13:45, 31. Okt. 2014 (CET)

Ich habe den Abschnitt nun zu den Löschkandidaten verschoben. Der Artikel liegt nun schon seit zwei Jahren hier in der QS ohne dass sich etwas getan hat. Da insbesondere jegliche Quellen fehlen, denke ich auch, dass dieser Artikel ein Löschkandidat ist.--Christian1985 (Disk) 18:01, 31. Okt. 2014 (CET)

+1 Löschen 1. ist der Inhalt unbelegt. 2. selbst wenn er sich belegen ließe, gehört er in Kompaktheitssatz (Logik) eingearbeitet und nicht in einen separaten Artikel.

PS: Hauptautor ist informiert.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 14:26, 2. Nov. 2014 (CET)

Die Referenz ist eigentlich Tarski, A. (1936): "On the Concept of Logical Consequence". In diesem Artikel taucht der Begriff auf Seite 5 auf, es wird auch Tarskis Artikel in seiner polnischen Version zitiert (in den Literaturangaben). Ob das hinreicht, den Artikel zu retten, überlasse ich euch. --Hajo Keffer (Diskussion) 20:14, 2. Nov. 2014 (CET)

Das ist natürlich eher von historischem Interesse, auch der verlinkte Artikel ist ja einer zur Geschichte der Logik. Andererseits passt es aber tatsächlich nicht richtig in einen Geschichtsabschnitt zu Kompaktheitssatz (Logik), weil es ja durchaus um etwas anderes geht.

Kompaktheit (Logik) ist m.M.n. in eine Weiterleitung auf Kompaktheitssatz (Logik) umzuwandeln, weil Leser eher nach dem Kompaktheitssatz suchen werden. Für den jetzigen Artikel Kompaktheit (Logik) könnte man vielleicht das Lemma Tarskis Kompaktheitsaxiom wählen. (Jedenfalls wenn es zutrifft, dass dieses Kompaktheitsaxiom heute nicht mehr verwendet wird. Anderenfalls ginge natürlich auch einfach Kompaktheitsaxiom.)--Kamsa Hapnida (Diskussion) 04:57, 3. Nov. 2014 (CET)

Ich habe den Artikel jetzt zu einer Weiterleitung auf Kompaktheitssatz (Logik) gemacht. Der alte Text ist ja in der Versionsgeschichte noch vorhanden, falls er in einen anderen Artikel eingebaut werden soll.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 20:41, 6. Nov. 2014 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Kamsa Hapnida (Diskussion) 20:41, 6. Nov. 2014 (CET)